Пифагор и его ученики считали, что всю Вселенную можно свести к числам. С их же помощью рационально объяснить природу.
Для них существовали только натуральные числа 1, 2, 3, 4, .... , те, которые применяются для счета предметов, и дроби, которые отлично получались из натуральных.
Но странное дело, когда пифагорейцы занялись простым геометрическим делом - измерением отрезков, их математический мир обрушился.
Выяснилось, что невозможно точно вычислить длину диагонали квадрата со стороной, равной единице. Получилось число корень квадратный из 2, то есть √2. И это число никак нельзя представить в виде дроби, то есть в виде рационального числа. Рационального, то есть разумного.
Это открытие решили "засекретить", оно слишком расшатывало математические основы. Но нашелся пифагореец, "предатель" Гиппас из Метапонта, который раскрыл тайну не посвященному. По легенде за это Гиппаса сбросили в море. Нравы были жестокие, пострадать можно было и за меньший проступок, впрочем, как и сейчас.
Итак, числа разделились на натуральные, дроби, которые образовывались из них - рациональные и новые, такие как √2 или √3 стали называть иррациональными, что значит "неразумные". Явный намек на из нездоровую природу.
А почему, собственно говоря, нельзя точно извлечь корень из двух, √2. Дробей ведь бесконечно много, невозможно проверить их все. Возможно, что существует такая, что умноженная сама на себя, она даст в результате 2.
И тут нам в помощь революционное изобретение древних греков - доказательство, то есть логическое обоснование математического утверждения.
Считается, что первое доказательство иррациональности числа , принадлежит самому Пифагору. Это доказательство и рассмотрим.
Всякая дробь имеет равную себе несократимую дробь, то есть знаменатель и числитель которой не имеет общих делителей. То есть, например, 25/30=5/6.
Обозначим такую несократимую дробь p/q, которая при умножении на себя, даст 2, то есть (p/q)*(p/q)=2, тогда p*p=2q*q. Докажем, что это невозможно.
Если p*p=2q*q, то p*p - это четное число, то есть оно в 2 раза больше какого-либо числа. Мы знаем, что квадрат нечетного числа всегда нечетное число, получается, что p должно быть четным. Тогда можно написать, что p=2m.
Подставим в исходное выражение и получим 2m*2m=2q*q, то есть 2m*m=q*q. Тогда в правой части тоже четное число и q - четное. Но это невозможно, так как по условию дробь p/q - несократимая дробь, числитель и знаменатель не могут быть четными одновременно. Вот и все доказательство. Не трудное, правда.
И одна задачка для Вас, для разминки. Задачка из школьного советского буфета.
Ученик купил в буфете булочку, пирожок и коржик. Сколько денег он заплатил, если две булочки, три пирожка и коржик стоят 27 копеек. А три булочки, два пирожка и четыре коржика стоят 43 копейки.
Спасибо, что Вы дочитали. Пожалуйста, подпишитесь, поставьте лайк.