Алексей Курганов родился в 1990 году в поселке Андреево Владимирской области. После окончания сельской школы поступил в Рязанское гвардейское высшее воздушно-десантное командное училище имени В.Ф. Маргелова.
С 2012 года служил в 137-м гвардейском парашютно-десантном Рязанском полку. За время службы занимал должности заместителя командира, командира парашютно-десантного и разведывательного взводов, а с 2020 года — командира разведывательной роты. Алексей участвовал в специальной операции против международных террористических организаций на территории Сирии, где был награжден медалью «За заслуги перед Отечеством».
С 24 февраля 2022 года Алексей Курганов в составе своего подразделения принимал участие в специальной военной операции по защите Донецкой и Луганской Народных Республик. В марте рота под его командованием выдвинулась на разведзадание. Во время продвижения по лесному массиву отряд попал в засаду. Капитан Курганов, ведя группу, получил ранение в первые минуты боя, но продолжил руководить действиями подразделения. Оценив ситуацию, Алексей принял решение прикрыть отступление своих бойцов ценой собственной жизни. Он поручил разведчикам доставить захваченные секретные документы в штаб, оставив себе боеприпасы и оставшись на поле боя.
Алексей Курганов вел непрерывный огонь, не давая возможности противнику выйти из укрытия и преследовать группу. Он удерживал превосходящие силы противника до последнего вздоха. Благодаря его героизму, разведчики смогли выполнить боевое задание.
Указом Владимира Путина от 31 марта 2022 года капитану Алексею Курганову посмертно присвоено звание Героя Российской Федерации. В его родном поселке установлен памятник, а школа, в которой он учился, названа его именем.