Представьте, что у вас есть обычный куб с ребром в 1 условную единицу длины (если вам так удобнее – пусть ребро будет равно 1 см). Также у вас есть набор бумажных обёрток разных форм и размеров:
Этими обёртками вы собираетесь обклеить куб, причём можно использовать только какой-либо один тип обёрток (например, только одинаковые треугольники №1, одинаковые прямоугольники №4 и т.д.), комбинировать их запрещено. Также требуется соблюдать два правила: обёртки нельзя разрезать и они не должны накладываться друг на друга при наклейке – они должны идеально стыковаться.
Ответьте на вопрос: всеми ли типами предложенных обёрток можно оклеить куб без наложений и разрезов?
Ответ, как обычно, вы узнаете ниже.
Для начала вспомним, что у куба шесть граней площадью 1х1 и суммарной площадью 6 кв. единиц. Теперь можно проверить все обёртки.
Треугольник №1. Очевидно, что эта фигура – ровно половина одной грани куба. Поэтому с помощью 12 таких треугольников можно оклеить весь куб.
Треугольник №2. Длина одной из сторон этого треугольника равна 3, поэтому при сложении двух таких треугольников мы получим прямоугольник с размерами 1х3 – с его помощью можно оклеить три грани куба, расположенных последовательно. И оставшиеся три грани можно укрыть ещё двумя такими же треугольниками. Так что и эта обёртка подходит – её нужно взять 4 штуки.
Квадрат №3. Кажется, здесь и возникает проблема – слишком уж странные величины у сторон этого квадрата. Но если обратится к треугольнику №1, то всё встанет на свои места. Очевидно, что это не просто прямоугольный треугольник, но ещё и равнобедренный, длина его катетов составляет 1 единицу. Отсюда по теореме Пифагора легко посчитать, что длина гипотенузы составляет квадратный корень из 2. Ну, а корень из 2, делённое на два – это ровно половина такой гипотенузы. То есть, диагональ квадрата №3 как раз из равна 1, поэтому с его помощью можно полностью обклеить куб:
Ну, а раз такой квадрат фактически занимает половину грани куба, то таких обёрток понадобится 12 – столько же, сколько и треугольников №1.
Прямоугольник №4. Легко понять, что этот прямоугольник – лишь половина прямоугольника, составленного из двух треугольников №2. Соответственно, с помощью обёрток этого типа тоже можно оклеить куб, причём их потребуется 4 штуки.
Прямоугольник №5. Кажется, этот прямоугольник идеально подходит для оклейки куба, ведь он имеет площадь 6 квадратных единиц. Да только вот именно его использовать и нельзя! Потому что для оклейки куба эту обёртку придётся либо разрезать, либо использовать несколько таких обёрток и наклеивать их внахлёст.
Таким образом, из представленных здесь обёрток условиям задачи отвечает 4 штуки, а прямоугольник №5 не подходит.