Задачи на “вытаскивание из темноты” или поиск наименьшего для начинающих.
У кого-нибудь была ситуация, когда пытаешься из шкафа достать пару белых коротких носков на лето, а, не глядя, вытаскиваешь один голубой носок с авокадо (купленный в далеком прошлом, потому что тогда это было модно), а второй - носок до колена из овечьей шерсти (ведь мама в детстве сказала, что ноги зимой должны быть в тепле)? Если нет, тогда можете просто посочувствовать людям, у которых такое случалось, а если было - поверьте, вы не одиноки! Не будем уточнять, что в шкаф всегда можно посмотреть и вытащить то, что нужно. Ведь вдруг мы одеваемся в 5 утра зимой и не можем включить свет в комнате.
Давайте решим задачу, не применяя сложных определений, теорем и формул, а будем использовать только жизненный опыт и базовые логические цепочки.
В комоде лежат носки трех разных цветов: черного, белого и серого. Какое наименьшее число носков нужно вытащить из комода вслепую так, чтобы среди них заведомо оказалось два носка одного цвета?
Конечно, правильный ответ - 4. Почему? Давайте разбираться. Если вы оптимист, то можете искренне верить, что сразу вытащите два нужных носка. Если пессимист, то в шкафу могут заваляться еще порванные и грязные, а значит, вариантов будет столько, сколько всего носков. Ну и если вы реалист, то понимаете: по закону подлости можно вытащить по одному носку разного цвета, но именно четвертый гарантирует, что нужная пара окажется у вас в руках.
Пора переходить к математике, ведь пока мы совершенно о ней не вспоминали. Мы говорили о жизни :)
Для определения наименьшего количества необходимо убедиться, что данное число действительно является самым маленьким. Данное подтверждение должно включать в себя два аспекта: возможность неудачи в случае еще меньшего числа и соответствие выбранного числа поставленным требованиям.
Давайте посмотрим на задаче,
как это обоснование выглядит.
№1. В новогоднем мешке дед Мороз принес шоколадки трех видов: темный, молочный и белый. Какое наименьшее число шоколадок надо взять наугад из мешка, чтобы среди них обязательно были хотя бы две одного вида?
Решение: а) Наименьшее число равно 4.
- если мы достанем 3 шоколадки, то среди них могут попасться 1 тёмного, 1 молочного и 1 белого.
- Теперь покажем, что если достать 4 шоколадки, то среди них обязательно найдется 2 одного вида. Предположим, что среди четырех шоколадок не нашлось двух одного вида, тогда каждого вида по 1, значит получаем 4 вида шоколадок, что противоречит условию задачи. Из этого можно сделать вывод, что предположение неверно, поэтому среди четырех шоколадок обязательно найдутся 2 одного вида.
Рассмотрим ещё одну задачу и попробуем привести немного другое рассуждение в доказательстве 2 пункта (что это число подходит).
№2. Сколько цветных фломастеров надо взять из пенала с пятью красными и семью желтыми фломастерами, чтобы было взято не меньше (больше или равно) двух красных и не меньше трех желтых?
Решение: а) Наименьшее число равно 9.
- В 8 фломастерах может оказаться 7 желтых и 1 красный
- Теперь покажем, что если достать 9 фломастеров, то среди них обязательно найдется 2 красных и не меньше трех желтых. В пенале было всего 5 красных фломастеров, значит среди 9 не может быть больше 5 красных, значит остальных фломастеров было 9-5=4, а это желтые фломастеры, их больше 3.
Аналогичные рассуждения можно провести и с желтыми фломастерами.
В пенале было всего 7 желтых фломастеров, значит среди 9 будет не больше 7 желтых, значит красных будет 9-7=2, что и требовалось по условию задачи.
Попробуйте теперь самостоятельно порешать следующие задачи:
- В коробке лежат 12 красных, 8 синих, 7 зелёных и 6 жёлтых кубиков. Из коробки не глядя вынимают сразу несколько кубиков. Какое наименьшее количество кубиков необходимо вынуть не глядя, чтобы среди них обязательно было хотя бы:
а) 4 кубика одного цвета?
б) по одному кубику каждого цвета?
в) 5 кубиков синего цвета?
г) 4 кубика красного цвета?
- В темном коридоре разбросано 7 пар ботинок. Какое наименьшее количество ботинок нужно взять, чтобы гарантировано составить себе пару?
- В новогоднем мешке дед Мороз принес шоколадки трех видов: темный, молочный и белый. Какое наименьшее число шоколадок надо взять наугад из мешка, чтобы среди них обязательно были хотя бы три одного вида?
Ответы:
- а) 13
б) 28
в) 30
г) 25
- 8
- 7