Научный семинар «Математика и информатика в средней и высшей школе»
Заседание 16 мая 2024 года Доклад: «Независимость событий и/или независимость испытаний?»
Аннотация. В математической части доклада показано, что независимость двух случайных событий – весьма редкое обстоятельство и предложен способ оценки сверху его частоты. В методической части приводятся и обсуждаются примеры того, как при изложении основ теории вероятностей в школе и в аттестационных материалах зачастую путают между собой независимость событий и независимость испытаний – похожие, но принципиально
различные понятия.
В прошлый раз очевидно путаница, вызванная неточностью описания в известных учебниках,пишут так например,"Если вероятность события А, в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А ". Это определение во-первых отлично от определения независимых событий, и во-вторых, оно не нужно по сути, а нужно, что испытания, как совокупность условий S не отличаются одно от другого ни в одном условии, тогда они не приводят к изменению вероятности события А в серии испытаний. Это будет более фундаментально и не приводит к туману. Можно договориться и до того, что любая вероятность условна, так как она появляется при выполнении S условий эксперимента. Испытание это совокупность условий, никаких других определений испытания ( или эксперимента) нет, так и в физике. Эксперимент это совокупность условий, никто ничего более разумного не придумал в теории вероятности, хотя физики могут и по другому, а химики тоже внести свои особенности.
Но самое главное обстоятельство, то что в аксиоматике не появляется понятия независимости пространства, нет никакой в том необходимости. В аксиоматической теории Колмогорова нет и быть не может этого понятия, а условная вероятность событий разумеется есть, вводится или как определение, или как аксиома. Поэтому все эти рассуждения о независимости ипытаний происходят от ухода от сути. Мы хороший имели поучительный пример для чего нужна математическая аксиоматика, точно показывает, где первичные понятия, а что развивается как доказательная теория.
Много терминов
зависимость и независимость событий
условная и безусловная вероятность
зависимость и независимость испытаний
а кроме того для испытаний используют термины и опыт, и эксперимент, и S - условий
а для событий и исходы, случаи, явления, факты, возможности, гипотезы, элементы, точки.
Ясно, что студент и школьник попадает в трудную ситуацию, да и преподаватели, те кто не преподает ТВ тоже запутаются, если точно не осознают суть дела, а точно осознать помогает только аксиоматика, поэтому ученые радеют за строгость и аксиоматику, только она дает точное знание, но разумеется с нее начинать изучение нельзя, вот этого ученые не понимают, не учитывают психологию. Но ее надо изучать потом , после освоения содержательной части, тогда она начинает освещать всю содержательную часть ярким светом, все темные закоулки становятся ясными.
Но это не означает, что школьникам и даже учителям с нее надо начинать, до нее надо дорасти и даже физиологически, мне думается, что аксиоматические построения не воспринимаются биологически лет так лет до 20-22 и притом еще надо учиться математическим дисциплинам, как раз в момент окончания вуза и можно бы начать изучать аксиоматику, ан нет, уже надо работать, вот это противоречие и не замечают великие ученые вроде Колмогорова, Александрова, Погорелова, Болтянского сразу с аксиоматики начинают учить школьников. Им кажется что это приведет к глубокому пониманию так как только аксиоматика дает точную суть, но она недоступна физиологически, психически, и временными рамками и объемами всех дисциплин, их много, которые приходится школьнику изучать.
См. Е. С. Вентцель, Теория вероятностей.
Вот такие рассуждения как у Вентцеля, и у других авторов вносят путаницу, потому что понятие независимость событий переносится на независимость ипытаний, а природа понятия "испытания" совершенно отлична от природы "события". С аксиоматической точки зрения испытание это пространство событий, и оно если дано, то неизменно , одно и тоже, сколько бы раз им не пользоваться. Об этом в аксиоматике, естественно, и вовсе не упоминается, подразумевается. Поэтому в учебниках не придерживающихся аксиоматике надо более точно выражаться, например в пособии И.П. Костенко Вероятность и статистика. М.: Статистика. 2012. 280 с. .
Вполне отражено правильно с аксиоматической точки зрения.
А вот что на это пишет искусственный интеллект Gpt4
Ваше замечание касательно путаницы между понятиями "независимость событий" и "независимость испытаний" в некоторых учебниках и работах авторов является вполне разумным. Действительно, часто встречается неточность в использовании этих понятий, что может привести к непониманию и путанице. Важно подчеркнуть, что испытание и событие являются различными понятиями в теории вероятностей и математической статистике. Испытание - это процесс, который может привести к определенному результату или событию. В то время как событие - это результат испытания, который может быть определен как набор элементарных исходов. В аксиоматической теории вероятностей испытание не рассматривается как пространство исходов, а скорее как операция, которая приводит к возникновению событий. Однако, в некоторых учебниках и пособиях может быть недостаточно ясно разделение этих понятий, что приводит к неточностям и путанице. Поэтому, чтобы избежать путаницы и обеспечить более точное понимание концепций, важно следовать аксиоматической теории вероятностей и подчеркивать различия между испытаниями и событиями. В учебниках и пособиях, которые не придерживаются аксиоматической теории вероятностей, следует использовать более точные формулировки и разъяснения, чтобы избежать недопонимания и путаницы.