Если какая-то величина может принимать строго определенные значения. Эти значения называются узловыми. А промежуточные значения между двумя соседними узлами не может принимать, то такая величина называется дискретной. Разность величины между соседними узлами называется шагом дискретизации.
Если величина может принимать значения между двумя заданными значениями xₒ и x при │xₒ-x│<ε и εстремиться к нулю, то такая величина не является дискретной.
Казалось бы, что дискретные величины никогда не могут переходить в не дискретные, так как по вышеопределенным определениям они являются антиподами, но в реальности это не совсем так. А математика все-таки должна давать инструменты другим наукам, с помощью которых они смогли бы построить реальную модель мира. К сожалению, это зависит не только от математиков, но и от специалистов других наук, как они понимают ту или иную проблему. Но это большой философский вопрос, который уведет нас в сторону от рассматриваемой темы, хотя частичный ответ на этот вопрос, может быть, кто-то и найдет в данной статье.
До открытия Джозефом Томасом со своими коллегами Джоном С. Таунсендом и Х. А. Уилсоном электрона в 1897 году открытием отрицательных заряженных частиц в катодных лучах, которые позже были названы электронами, и опыта Милликена, проведенного в 1910 году, в котором впервые был измерен заряд электрона равный -1,582∙10⁻¹⁹ кулона, считалось, что все физические величины не дискретными. А оказалось, что заряд должен быть кратным этому числу заряду электрона, даже если эта величина мала для классической физики.
По современной физической картины мира практически все физические величины дискретны планковским значениям, если они чрезвычайно малы. Так, например, для единиц, измеряющих длину, планковская длина равна примерно 1,616∙10⁻³⁵ м. Чтоб представить, как мала эта величина, представьте, если кубик с длиною стороны в одну планковскую длину увеличить до кубика, с длиною стороны 1 метр, то кубик со стороной 1 метр будет иметь объем больше видимой части вселенной.
Но в классической физике электрический заряд и длина не являются дискретными, то есть мы всегда можем придать этим величинам промежуточные значения, но несмотря на это, они теоретически остаются дискретными. Значит, есть какой-то критерий, когда дискретная величина переходит в не дискретную. И этот признак скорее психологический.
Из вышесказанного можно сделать вывод, если шаг дискретизации намного меньше ошибки самого чувствительного прибора, измеряющего данную величину, то ее можно считать не дискретной.
В заключение хочется заметить, что фактически в многих задачах, решаемые с помощью численных методах, не дискретные величины подменяются дискретными, и это позволяет решать приближено даже те задачи, которые не имеют точных аналитических величин.
На этом сегодня все.
До новых встреч.