Иронично-сатирическая статья с открытыми вопросами.
В интернетах и на тетрадках есть два типа таблиц умножения.
На первой изображён квадрат 9*9 клеток с подписями строк и столбцов, на второй - 9 столбиков по 9 строчек.
И там, и там написано "таблица умножения", обе они из "официальных" источников.
Одни доказывают, что истинная таблица - в виде квадрата. Другие им отвечают, мол, она называется "таблица Пифагора", а таблица умножения со столбиками.
Что же это за "таблицы" такие, и чем они отличаются.
Таблица умножения - в любой форме - должна содержать в себе умножение. Верно? По крайней мере, так следует из названия.
По определению, умножение - это многократное сложение.
Если следовать этому определению, то в таблице умножения должно быть записано что-то типа 7x6=7+7+7+7+7+7=42.
Видно, что главное здесь - в середине. Это многократное сложение (7+7+7+7+7+7). "7x6" ещё к умножению можно притянуть - всё-таки "x" - это символ операции умножения, но вот 42 - вообще никак к умножению не относится. Это всего лишь результат умножения (который однозначно получается из определения, и тут как бы лишний)
Но во-первых, выполнение множества сложений - длительная операция. А в современном школьном ритме учителю некогда ждать, когда ребёнок сложит 7+7=14, 14+7=21, 21+7=28, 28+7=35, 35+7=42. Учителю нужно, чтобы ребёнок выдал ответ сразу, не задумываясь! Поэтому самая длительная операция выбрасывается. То есть, многократное сложение. (А я напомню, что по определению многократное сложение суть умножение.) Поэтому длинная работа для ребёнка укорачивается. Брюки превращаются...
В таблице со столбиками записано "7x6=42" - частично повторяет запись умножения. То есть, это таблица именно умножения, но она такая... Слегка урезанная. Тут записаны исходные числа, знак умножения, есть результат умножения, но нет самого процесса умножения. Многократного сложения-то нет.
А во-вторых, если бы мы захотели в эту таблицу записать честное умножение, она была бы гораздо больше. Особенно, последние строки столбцов: 7x9=7+7+7+7+7+7+7+7+7=63.
Я бы её назвал "слегка оптимизированной". (Слово "слегка" выглядит иронично, когда выбрасывается самое важное.) В данной таблице даже выброшен один "очевидный" столбец.
В таблице "квадратом" нет ни сложения, ни даже знака умножения. И к каждому первому множителю просто приписали 9 произведений, разумея все возможные варианты второго множителя. "7 | 7 14 21 28 35 45 49 56 63".
Вообще, к таким таблицам идёт инструкция, расшифровывающая её, но на приведённом плакате, к сожалению, таковой не оказалось - вырезали даже инструкцию. И в этой инструкции пишут один из примеров первой таблицы: "7x6=42", а на самой таблице подсвечена 7 строка и 6 столбец. Там в пересечении как раз 42 оказывается.
То есть, грубо говоря, таблица "квадратом" - это ещё более оптимизированная таблица умножения, в которой выкинуто всё, кроме ответов (особенно, если подписи столбцов и строк рассматривать, как порядковые номера).
Итак, в обеих таблицах написано, что они - таблицы "умножения", но ни в той, ни в другой нет умножения. Оно просто выброшено в угоду оптимизации.
Как же ученику получить результат многократного сложения, если самого сложения нет, и, судя по таблицам, не предполагается?
А очень просто.
Надо запомнить. Запомнить, что если взять 6 раз число 7 и сложить, то результат будет 42. И так 81 раз - для каждой пары чисел от 1 до 9.
А если запомнить с первого раза не получится, то есть же таблица, в которой всегда можно подглядеть ответ (пока не запомнил наизусть).
И вот с этой точки зрения можно уже пытаться оценить, какая из двух таблиц - правильная. Какая более оптимизированная, в которой меньше "лишних" вещей для запоминания - та и правильная.
Таблица "умножения", оказывается, позволяет ещё большую оптимизацию. Если из таблицы исключить некоторые повторяющиеся ответы, то ответов будет уже не 81, а всего 45. И такие таблицы "умножения" тоже есть в интернетах и других пособиях
"Лесенка умножения"
Ко всем этим таблицам есть куча вопросов.
Зачем в первой таблице оптимизировали столбец 1x?, но не стали оптимизировать строки ?x1? В чём причина такого двойного стандарта?
Почему первая строка и первый столбец "квадратной" таблицы в точности повторяют подписи к этим столбцам и не оптимизированы?
Почему выбрано именно 9 множителей (в первой таблице - 8½, потому что ?x1 есть, а 1x? - нету)? Для работы с умножением "столбиком" этого явно недостаточно (в десятиричной системе счисления есть ещё одна цифра), а считать умножение на 0 тривиальным (и оптимизировать его), но не считать умножение на 1 тривиальным - опять двойные стандарты (и то, и то - определения, кстати сказать, и с точки зрения математики равновесные).
Какие столбцы и строки можно оставить в таблице для шестнадцатиричной системы счисления, а какие - оптимизировать? А для двоичной?
Но самый главный: почему они называются "таблица умножения", когда само умножение (как оно определяется в школьной математике) из них выброшено?
Почему бы не назвать их "таблица результатов умножений"?