Возьмём простое число Р = 13 и сконструируем метачисло (М) в каноническом виде, где каждое из первых простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13 – без пропусков до выбранного Р) входит в максимально возможной степени (Ak):
Ak = [lnP/lnPk]. (1)
В формуле (1) квадратные скобки […] означают функцию антье (она выделяет целую часть от вещественного числа в скобках); параметр k= 1, 2, 3, 4, 5, 6 – это порядковый номер простого числа (в ряде всех простых чисел), которое не превосходит данного простого Р. При этом число Р = 13 порождает такой набор из 6-ти показателей степени (6 раз вычисляем по формуле 1):
A1 = [ln13/ln2] = 3; A2 = [ln13/ln3] = 2; A3 = [ln13/ln5] = 1;
A4 = [ln13/ln7] = 1; A5 = [ln13/ln11] = 1; A6 = [ln13/ln13] = 1.
При этом мы будем говорить, что простое число Р = 13 порождает метачисло: М = (2^3)∙(3^2)∙5∙7∙11∙13 = 360360.
В силу самого «устройства» формулы (1) у данного метачисла (М) впервые в натуральном ряде насчитывается не менее 13-ти линейных делителей: d = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 (т.е. реально их набралось даже больше – 15-ть первых линейных делителей: L = 15 штук). И в этом – главное и самое интересное свойство любого метачисла (с любым старшим простым Р) – у них всегда L ≥ Р. Важно подчеркнуть, что в ряде натуральных чисел за каждым метачислом (М) с L линейными делителями будет множество других натуральных чисел, у которых также будет ровно L линейных делителей (как у данного M), однако такие числа («потомки» числа М, порожденного конкретным старшим простым Р) мы уже не будем называть «метачислами». Если здесь что-то непонятно – см. статью во «Вконтакте» (на 27 страничках книжного формата, а на Дзене – только её краткая «выжимка»).
Используя k формул (1) для конкретного старшего простого Р (с номером k), нетрудно доказать приблизительную формулу для достаточно большого метачисла (такого что М >> 2): М ~ ℮^P ≡ exp(P). (2)
В этой формуле М – это реальное метачисло, найденное в каноническом виде по k формулам (1), а знак тильда (~) говорит о том, что это так называемое асимптотическое равенство, которое следует понимать следующим образом: M/℮^P → 1 при Р → ∞.
Почему (ещё в начале 2020 года) автор назвал открытые им числа М – метачислами? Во-первых, это просто короткий и яркий термин (выбранный автором, как минимум, за полтора года до того, как 28.10.2021 почти аналогичный выбор сделал и … Марк Цукерберг). Во-вторых, некое огромное простое число Р из диапазона Р = 10^84 ÷ 10^106 <это, согласно гипотезе автора, диапазон нашего «сегодня», то есть 13,8 млрд лет, выраженные в квантах пространства> порождает колоссальное метачисло, которое находится далеко за пределами нашего воображения: М ~ ℮^P = 10^(P/ln10) ≈ 10^(P/2,3), и у которого впервые в натуральном ряде первые Р делителей – это копия начала натурального ряда (вплоть до числа Р). <Значит, такое метачисло М можно рассматривать, как расстояние (в квантах пространства) до ближайшей копии нашей Вселенной, или, иначе говоря, как «модель» наименьшей Метавселенной (Мультивселенной), содержащей нашу Вселенную (и множество других вселенных с иными законами физики). Ясно, что в рамках числофизики копий нашей Вселенной – очень много. Есть подобное мнение (в части множества копий нашей Вселенной) и у физиков-теоретиков.>
Какой порядковый номер (Kм, в ряде всех метачисел) у колоссального метачисла М ~ ℮^P? Очевидно, он равен порядковому номеру простого числа Р (в ряде всех простых): Kм ~ Р/(lnP – 1) и при Р = 10^84 ÷ 10^106 соответственно получаем Kм ~ 10^81 ÷ 10^103 <это диапазон нашего «сегодня», то есть 13,8 млрд лет, выраженные в квантах времени>. Таким образом, номер Kм исчезающе мал по сравнению со «своим» колоссальным числом М, поэтому метачисла (которые встречаются всё реже и реже при Р → ∞) с полным правом можно назвать вехами Метавселенной (как мира натуральных чисел, так и реального Мироздания, которое мир чисел «моделирует»).
Любопытно отношение соседних метачисел (особенно достаточно больших). Минимально возможное отношение (порождаемое парой простых чисел-близнецов): (М2/М1)min ~ ℮2 = 7,389…, поэтому здесь мы очередной раз невольно вспоминаем про совершенно очевидную «магию» числа 7 (как в мире натуральных чисел, так и в природе, во Вселенной). Максимально возможное отношение будет таким: (М2/М1)max ~ ℮^F, где F = (lnP1)^2 – lnP1 – 1 [согласно гипотезе Фариды Фирузбэхт (см. в Википедии), а старшее простое Р1 порождает меньшее метачисло М1].
Тип (Т) натурального числа N – так (для упрощения разговора) ещё в 1997 г. автор назвал количество всех целых делителей числа N (включая 1 и само N). В ряде натуральных чисел есть бесконечное количество так называемых сверхсоставных чисел N= 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, … . Каждое сверхсоставное число N – это число с максимальным количеством целых делителей (среди всех предшествующих чисел), поэтому в рамках числофизики автор назвал такие числа типомаксами (числа N, у которых тип Т – максимальный). Находить большие типомаксы – довольно сложная задача, но, как оказалось, метачисла – это лучшие заменители ближайших к ним типомаксов, поскольку у всякого метачисла (М), зная его каноническое разложение, мы всегда легко находим тип (Т) метачисла. Так, автором был построен график (см. рис.1), по которому, зная старшее простое Р у реального метачисла (М), можно определить параметр ОП (имеющий смысл относительной погрешности), а потом вычислить примерное количество (Т*) всех делителей данного метачисла по такой формуле:
Т* ~ T^[1/(1 – ОП)], (3)
где Т = 2^[lnM/(lnlnM – 1)], а М – это реальное метачисло, найденное по формуле (1) [а вот если М найдено по формуле (2), то у параметра Т* погрешность, вообще говоря, может увеличиться].
Весьма любопытно следующее. У достаточно большого метачисла (М >> 1), порожденного старшим простым Р, сумму самых больших его делителей-олигархов (в количестве Р штук) легко вычислить: Sо ≡ М/1 + М/2 + М/3 + М/4 + … + М/Р (сумма делителей-олигархов у метачисла М). А вот сумма (S) всех делителей у метачисла М (или сверхсоставного числа N ≈ M) известна из теории чисел, и эту сумму S мы назовем богатством метачисла. При этом нетрудно доказать, что сумма делителей-олигархов будет составлять почти 56 % от богатства метачисла:
Sо/S ≈ (1/℮^γ)∙(1 + γ/lnP) ≈ 1/1,781 ≈ 0,561, (4)
где γ = 0,577 215 … – постоянная Эйлера-Маскерони; ℮^γ≈ 1,781. <Указанная предельная доля (56,1 % при Р → ∞) – важнейший аргумент в пользу того, что законы теории чисел имеют фундаментальное значение для понимания «устройства» не только законов теоретической физики, но и законов «устройства» социума (человеческого общества на разных уровнях его рассмотрения: планета, страны, …). Например, более половины богатств (более 50 %) на планете принадлежит всего лишь 81 миллиардеру. При этом на 1% богатейших людей приходится 45,6% общемирового состояния (а на 50% людей с наименьшими доходами – всего 0,75%) – это следует из расчетов Oxfam.>
13.05.2024, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2024
