Он появился на свет 17 мая 1943 года в городе Рассказове под Тамбовом. Уже через месяц семья вернулась из эвакуации в столицу, где родители будущего актёра работали на почётных должностях — мама преподавала высшую математику в институте, а отец был инженером в ракетостроении. Однако юного Сашу точные науки не привлекали. Семья жила неподалёку от Театра имени Моссовета и уже в десять лет юный Леньков впервые вышел на сцену в спектакле «Студенты третьего курса».
Талант мальчика отмечали многие знаменитые коллеги, среди которых оказалась и Вера Марецкая. По совету легендарной актрисы после школы Саша поступил в студию при Театре Моссовета, а вскоре был официально зачислен в труппу. Этой сцене Леньков был верен до конца дней, сыграл во многих знаковых постановках — «Братья Карамазовы», «Василий Тёркин», «Двенадцатая ночь», «Лес», «Свадьба Кречинского», «Чайка».
В кино Александр Леньков дебютировал в 20 лет — сыграл Феликса Фонякова в мелодраме «Непридуманная история». Уже в следующем году Леньков получил свою первую главную роль — перевоплотился в новобранца Семёна Лагоду в военной комедии «Ключи от неба». Вскоре Эльдар Рязанов пригласил актёра на роль пианиста Павлика в комедии «Дайте жалобную книгу», а Юрий Чулюкин снял молодого актёра в «Королевской регате».
Александр Леньков много снимался в кино, и хотя роли ему доставались в основном второстепенные, зрители полюбили обаятельного актёра. С годами за Леньковым закрепилось сказочное амплуа — копна белоснежно-седых волос и вправду делала актёра похожим на волшебника. Всего на счету Александра Ленькова было больше двухсот картин, а последний проект с его участием увидел свет уже после смерти актёра — Леньков предстал в образе колдуна в ленте «Тайна Снежной Королевы». До конца выходила и телепередача «Сказки для самых маленьких», где актёр перевоплощался в ведущего — деда Евсея.
Любовь всей своей жизни Александр Леньков повстречал ещё в 12 лет. Красавица-одноклассница пригласила его не день рождения, но на протяжении всего мероприятия Саша не мог оторвать взгляд не от виновницы торжества, а от её скромной младшей сестрёнки, которая тихо сидела в стороне. Первое робкое чувство с годами лишь крепло, и став студентом, Леньков решил жениться. С любимой Леночкой они были вместе до самой смерти актёра.
Жена подарила Александру Ленькову дочку Катю, в которой он души не чаял. Своих девочек актёр обожал и баловал — собственными руками шил наряды, которых не было ни у кого в столице. Дочку Леньков часто брал с собой на гастроли, и жена всегда была уверена — рядом с папой Катюша накормлена, напоена, опрятно одета и просто счастлива. Как родных Александр Леньков любил и своих студентов, которым много лет передавал мастерство во ВГИКе.
В последние годы Александр Леньков боролся с раком желудка. Шесть месяцев он провёл на больничной койке, перенёс множество операций. Однако победить тяжёлый недуг так и не удалось — 21 апреля 2014 года 70-летний актёр ушёл из жизни. Похоронили Александра Ленькова на Троекуровском кладбище. Впоследствии на могиле актёра установили необычный памятник, изображающий его в образе доброго волшебника.