С самой глубокой древности и до 19 века в руководствах по арифметике занимал важное место так называемый метод ложного положения или метод предположений. Л.Ф. Магницкий называет раздел своей "Арифметики", трактующей этот вопрос "О правилах фальшивых или гадательных".
Метод фальшивого правила до открытия отрицательных чисел, был единственным способом решения текстовых задач на протяжении трёх столетий. В «Арифметике» имеется много задач, которые решаются по этому правилу. Его значимость заключалась в том, что таким образом можно было решить любую задачу практического содержания, без применения уравнений.
Существуют две разновидности правила ложных положений: правило одного ложного положения и правило двух ложных положений.
Правило одного ложного положения - это простейший метод решения линейных уравнений. Сущность этого метода в том, что неизвестной величине дают произвольное значение, пользуясь которым вычисляют значение одной из данных величин, устанавливают ошибку. Так как в задачах, решаемых этим способом, данная величина, значение которой определяется через значение неизвестной, есть линейная функция неизвестной, то приращение этой величины пропорционально приращению неизвестной. Пользуясь этим, исправляют значение неизвестной. Правило двух ложных положений было изобретено индусами, однако, скорее всего, было позаимствовано у китайских ученых. От индусов оно перешло к арабам, которые доставили ему очень распространенное применение как в собственной математической литературе под именем «правила чашек весов», так и в литературе Европы.
Вот так звучало правило: «Рисуй весы и пиши над точкой опоры результат, который получается после указанных в задаче действий над неизвестным числом. Оба ложных положения пиши над чашками весов, погрешности «больше» пиши под весами, «меньше» - над весами. Ложные положения и погрешности умножить накрест. Бери разности произведений, если погрешности находятся по одну сторону от весов, бери их суммы, если погрешности стоят по разные стороны».
Правило двух ложных положений стало важной вехой в развитии арифметики как науки. Магницкий трактует «фальшивое» правило так: «Эта часть арифметики весьма хитра. При помощи её можно вычислить не только то, что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые встают перед «мудрыми».
Обоснуем сущность «фальшивого» правила на примере решения линейного уравнения:
ax+b=0(1).
Для решения этого уравнения предположим, что искомое x=x1. Подставив x1 в уравнение (1), получим:
ax1+b=n1 ,(2)
где n1 – первая ошибка правой части уравнения (1).
Теперь предположим, что x=x2 , тогда, подставив x2 в уравнение(1),
получим:
ax2+b=n2 .(3)
где n2- вторая ошибка правой части уравнения (1).
Вычтем почленно из уравнения (2) уравнение (3) и получим:
a(x1–x2 )=n1 –n2 .(4)
Теперь обе части уравнения (2) умножим на x2 , а обе части уравнения(3) на x1 и затем почленно вычтем полученные уравнения:
b(x2 –x1 )=n1 x2 – n2 x1 .(5)
Из уравнения (4) найдём a, а из уравнения (5) найдём b. Так как из исходного уравнения (1) x=-b/a, то получим:
x=(n1 x2 – n2 x1 ):(n1 –n2 ).
Решим задачу, используя «фальшивое» правило, из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого.
Спросил некто учителя: «Сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придёт ещё столько же учеников, сколько имею, и полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100».
Решение:
1). Делаем первое предположение: учеников было 24.
Тогда по смыслу задачи к этому числу надо прибавить «столько, полстолька, четверть столька и 1», то есть имели бы:
24+24+12+6+1=67, то есть на 100—67=33 меньше (чем требовалось по условию задачи), в этом случае число 33 называем «первым отклонением».
2. Делаем второе предположение: учеников было 32, тогда имели бы:
32+32+16+8+1=89, то есть на 100—89=11 меньше это «второе отклонение».
На случай, если при обоих предположениях получилось меньше, дается правило: помножить первое предположение на второе отклонение, а второе предположение на первое отклонение, отнять от большего произведения меньшее и разность разделить на разность отклонений:
Учеников было 36.
Таким же правилом надо руководствоваться, если при обоих предположениях получилось больше, чем полагается по условию. Например:
Первое предположение: 52, тогда имеем 52+52+26+13+1=144.
Получили на 144–100=44 больше (первое отклонение).
Второе предположение: 40, имеем: 40+40+20+10+1=111.
Получили на 111–100=11 больше (второе отклонение).
Если при одном предположении получим больше, а при другом меньше, чем требуется по условию задачи, то нужно при указанных выше вычислениях брать не разности, а суммы. Например:
Первое предположение: 52, тогда имеем 52+52+26+13+1=144.
Получили на 144–100=44 больше (первое отклонение).
Второе предположение: 24, тогда имеем 24+24+12+6+1=67.
Получили на 100-67=33 меньше(второе отклонение).
Выводы:
1.Время на решение задачи, используя «фальшивое» правило тратится намного больше, чем на решение задач с помощью уравнений (почти в 3 раза больше).
2. Решая задачи по правилу двух ложных положений, получаются длинные и громоздкие вычисления. Результат решения, конечно, получается верным. Решая задачи с помощью уравнений, вычисления получаются намного короче, проще.
3. Таким образом, способ решения задач, предложенный Магницким, основан на сложном алгоритме действий. Метод решения задач с помощью уравнений намного проще. Однако, одно но перевешивает все минусы этого способа решения задач - он максимально адаптирован к машинным вычислениям.
Метод фальшивого правила в современности помог Артему Оганову, известному кристаллохимику, внести свой вклад в науку с достижением практических результатов. Он предложил метод поиска всех возможных стабильных соединений элементов машинным путем при помощи ЭВМ.
В заключении приведу пример еще одной задачи, где современные методы отличаются от приведенных Магницким.
Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней. А вместе с женой — за 10 дней. За сколько дней жена выпьет бочонок кваса одна?
Решение:
Найдём число, которое делится и на 10, и на 14. Проще всего найти такое число, если перемножить 10•14=140. О чём это говорит? О том, что за 140 дней человек выпьет 10 бочонков кваса. А если он будет пить вместе с женой, то за те же 140 дней они выпьют 14 бочонков кваса. Значит, за 140 дней только жена выпьет 14-10=4 бочонка кваса. Стало быть, один бочонок кваса жена выпьет за 140:4=35 дней.
В современных учебниках масса похожих задач, их учатся решать, начиная с начальной школы. По сути это разновидность задачи на производительность.
Спасибо всем кто смотрит и поддерживает мой канал, ваше внимание бесценно. Поддержать автора канала на чашку кофе и не только, как всегда по этой ссылке.