И это не кликбейт. Ни для кого не секрет, что задачи по геометрии (из 2 части) ученики решают очень плохо. Причин на это несколько: основная из них - отсутствие чёткого алгоритма решения задач и их огромная вариативность. Решение нужно идейно придумывать: исходя из имеющихся данных, сообразить какую теорему из сотен следует применить в конкретной ситуации. Зачастую это непросто и требует не только углублённых знаний, но и обширной практики. А если речь идёт о стереометрической задачи, то тут ещё важно иметь пространственное мышление и хороший чертёж, чтобы понимать, что вообще происходит в этой задаче. Но существует метод, который гарантирует чёткий алгоритм решения стереометрических задач. В этой статье речь пойдёт о методе координат.
Предупреждение: за всё хорошее нужно платить. Метод, который гарантированно решает любую стереометрическую задачу, доступен только тем, кто хорошо владеет навыками счёта. Надеюсь вы не испугаетесь тех вычислений, которые будут представлены ниже. Но поверьте, оно того стоит
Условие: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка P - середина бокового ребра SD. На ребре SC взята точка T так, что ST : TC= 1:2
- a) Докажите, что плоскость BPT параллельна боковому ребру SA
- b) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BPT, если все рёбра пирамиды равны 12 см.
Решение начинается с выбором удобной ортогональной системы координат (система оси которой взаимно перпендикулярны). Обычно система координат привязывается к прямому углу стереометрической фигуры. Если стереометрической фигурой был бы куб или прямоугольная призма, то выбор точки отсчёта для системы координат был бы тривиален. На первый взгляд, правильная четырёхугольная пирамида не имеет удобного прямого угла, но это не так. Давайте опустим высоту из вершины пирамиды:
Нам известно, что у правильной четырехугольной пирамиды высота падает в центр правильной фигуры. Центр квадрата - это пересечение его диагоналей, причём известно, что угол между диагоналями прямой. Значит точка O лежит на пересечении трёх ортогональных прямых: высоты и двух диагоналей, поэтому нам будет удобно взять её за точку отсчёта. Ось x направим к точке C, ось y направим к точке D, а ось z направим к вершине пирамиды (точки S).
Пусть OD = a (исходя из правильности четырёхугольной трапеции OA = OB = OC = a), а OS = b. В таком случае, мы можем записать координаты точек, образующих четырёхугольную пирамиду: A(0,-a,0); B(-a,0,0); C(0,a,0); D(a,0,0); S(0,0,b). Известно, что точка P делит отрезок BS пополам, а точка T делит отрезок SC в отношении 1:2. Нетрудно понять, что координаты точек P и T: P(a/2,0,b/2) и T(0,a/3,2b/3)
Переходим к более сложным вещам. Плоскость BPT однозначно задаётся по трём точкам, координаты которых мы знаем. Самое время написать уравнение плоскости: рассмотрим формулу
где (x1,y1,z1) - координаты первой точки, (x2,y2,z2) - координаты второй точки, (x3,y3,z3) - координаты третьей точки. Да, с этого момента нам придётся столкнуться с таким понятием как матрица. Но не пугайтесь, мы познакомимся только с основами и их практическим применением. (подробнее про матрицы вам обязательно расскажут на 1 курсе) Как понимать выражение: матрица равна 0? Это значит, что нулю равен определитель матрицы. А что такое определитель матрицы? Это некое число, которое характеризует данную матрицу и вычисляется следующим образом (внимание, знаки!):
Таким образом, матрицу 3x3 мы преобразовали в сумму матриц 2x2. А она раскрывается следующим образом:
Возможно, это выглядит сложно и непонятно, поэтому я предлагаю применить эти формулы на практике:
Отлично, мы получили уравнение плоскости вида:
Ax + By + Cz + D = 0
Числа A, B и C неслучайны, они образуют координаты вектора нормали (вектор, перпендикулярный к плоскости). Получается, что вектор n имеет координаты (-b, -3b, 3a). Теперь, чтобы доказать, что плоскость параллельна отрезку AS, достаточно доказать, что нормаль плоскости перпендикулярна отрезку AS.
Так как нормаль - это вектор, то нам будет удобнее перейти к векторам. Нам нужен вектор, который будет характеризовать отрезок AS, на эту роль отлично подойдёт вектор AS, который будет иметь координаты:
Известно, что если скалярное произведение двух векторов равно 0, то векторы перпендикулярны. Тогда для доказательства пунка а) нам достаточно показать, что скалярное произведение вектора нормали n и вектора AS равно 0.
Скалярное произведение равно 0, что и требовалось доказать в пункте а)
Пункт а) доказан, переходим к пункту б). Скорректируем чертёж, подставив b равную a (при такой подстановке все рёбра четырёхугольной пирамиды будут равны a√2 или (по условию) 12, пока подставлять a равную 6√2 не будем)
Итак, нам нужно найти площадь сечения пирамиды плоскостью BPT. Для этого нам нужно найти координаты точек пересечения между ребрами пирамиды и плоскостью BPT. Очевидно, что точки B, P и T - это точки искомого сечения Нам остаётся найти координаты некой точки Q - точки пересечения ребра AD и плоскости BPT.
Как это сделать? Нам известны координаты точек A (0, -a, 0) и D (a, 0, 0). Для нахождения точки пересечения между прямой и плоскости нам нужно вывести уравнение прямой по этой формуле:
Нетрудно заметить, что координата z у точки A и D равна 0, значит она не будет фигурировать в уравнении прямой:
После подстановки a = b, уравнение плоскости выглядит так:
-ax - 3ay + 3az - a² = 0
Подставим y = x - a и z = 0:
Как мы уже отмечали выше z = 0. Итого точка Q имеет координаты (a/2, -a/2, 0). Отлично, задача свелась к нахождению площади четырёхугольника BTPQ.
Существует несколько путей для нахождения площади многоугольника: проще всего разделить многоугольник на треугольники и вычислить их площади по отдельности. Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона (для этого нужно знать длины всех сторон), или как произведение высоты к его основанию пополам, или как произведение двух сторон и синуса угла между ними пополам - способов, действительно, много. Давайте посчитаем длины всех сторон и диагонали BP, чтобы понять какой способ нахождения площади будет оптимальным:
Длина отрезка находится по следующей формуле:
Заметим, что BP= QB, значит треугольник BPQ равнобедренный. Его площадь проще всего найти как произведение высоты и основания пополам.
Так как треугольник равнобедренный, то высота BH делит основание пополам. Значит координаты точки H можно найти как среднее арифметическое координат точек P и Q.
Найдём длину отрезка BH:
Теперь мы можем найти площадь треугольника BPQ:
Площадь треугольника BPT вычислим по формуле Герона, для этого найдём полупериметр:
Формула Герона только кажется страшной, но при вычислении слагаемых под корнем мы гарантированно получим сопряжённые слагаемые, что существенно облегчит нам задачу:
Осталось сложить площади треугольников и подставить значение a:
Ответ на пункт б) 15√19
Спасибо за прочтение статьи. Поддержите молодой канал лайком, а также не забудьте подписаться, если вы интересуетесь всем, что связано с ЕГЭ и поступлением в ВУЗ. А если у вас есть, что добавить или предложить - пишите ваши мысли в комментариях В будущем вас ждёт ещё больше контента)