В "толковых" словарях существует многообразие формулировок понятия - ЧИСЛО. А в математических словарях , либо отсутствует совсем, либо размывается общими фразами. Считается, видимо, интуитивным математическим понятным. Многие словари определяют понятие числа через другое понятие, что является тавтологией (туфтой). Особенно это заметно в понятиях числа, числовой характеристики, величины. Привожу некоторые определения.
Число -основное понятие математики величина, при помощи которой производится счёт. /Словарь Ожегова. / Итак, число - это величина/.
Число, Единица счёта, выражающая то или иное количество. /Большой толковый словарь русского языка/ /Тут число - это единица счёта./
Число - основное понятие математики; абстрактная сущность, используемая для описания количества, грамматическая категория, выражающая количественную характеристику предмета. /Википедия/ / Здесь, число- это абстрактная сущность/
Число - это математический объект (абстрактное понятие, возникающее в математике) . https://en.wikipedia.org/wiki/Number - /Англ., Википедия./
Число - Понятие, служащее выражением количества, при помощи которого производится счет. /Малый академический словарь./ и /Словарь Д.Н. Ушакова/ /Здесь - выражение количества/
Число́, важнейшее понятие математики, которое используется для количественного описания различных объектов и процессов. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие числа изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования. /Большая российская энциклопедия/ /Здесь, понятие числа, тождественно понятию "величина" из Википедии см. ниже/
- Коли́чество — категория, выражающая внешнее, формальное взаимоотношение предметов или их частей, а также свойств, связей: их величину, число, степень проявления того или иного свойства. /Википедия/ / Количество - это категория, выражающая число/
- Величина (математика) — одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений. /Википедия/ /Ушли от определения/
- Величина (физика) — количественная характеристика физического свойства материального объекта, физического явления, процесса. /Википедия/ /Величина - это количественная характеристика/
- Цифра - знак, обозначающий число. /Википедия/
- Счёт - определение каких-либо количественных показателей или определение количества однородных объектов (подсчёт). Счёт (также подсчёт) - в арифметике, определение количества однородных («считаемых») предметов, то есть установление взаимно однозначного соответствия между множеством этих предметов и началом натурального ряда. /Википедия/ /Счёт - это определение количества./
В общем вы поняли, что ясности в современном понятии числа нет. Хотя интуитивно вроде понятно, для чего числа нужны.
А ведь в понятии числа заложена глубочайшая методология. И мы сейчас это увидим.
Список наиболее известных типов чисел
НЕМНОГО ИСТОРИИ
Пифагор (VI в. до н.э.) и его последователи считали, что природные сущности вторичны, и что их суть лишь в отражении числа. Числа рассматривались как божественное начало, управляющее мирозданием и приводящее в согласие все его разнородные части. Они считали, что реальные тела состоят из единиц бытия.
Научное определение числа дал Эвклид (IV в. до н.э.) в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408–355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Через 2000 лет так определял понятие числа и русский математик Л.Ф.Магницкий (1669-1739г.) в своей «Арифметике» (1703 г.).
Исаак Ньютон (1642 - 1727 г.) в своей “Общей арифметике” (1707 г) пишет: “Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей”. В дальнейшем мы покажем, что иррациональное число - это функция и соизмерима она может быть только функции.
И в определении пифагорейцев, и Эвклида, и Магницкого, и Ньютона прослеживается мысль и уже просматривается некая методология, что число - есть отношение с единичной частью. А это есть сравнительная характеристика познаваемой в величине сущности с её единичной частью.
КАКАЯ МЕТОДОЛОГИЯ СКРЫТА В ПОНЯТИИ ЧИСЛА?
Человечество постоянно создаёт и совершенствует различные способы познания мира.
Сравнительный способ познания видится как наиболее практичный, адекватный и основной. Измерение - основной способ сравнительного подхода. Д.И.Менделеев говаривал:"Наука начинается там, где начинают измерять". А измерение - это сравнение (соотношение) с эталоном. Теоретические способы познания (индуктивный, дедуктивный, аналитический и прочие) тоже имеют место быть, но не лишены существенных недостатков. Они используют косвенные причинно-следственные связи с объектом познания и не отвечают на вопросы: Почему в мире всё относительно? Почему всё познаётся в сравнении? Что есть объективное (субъективное) познание?
Способ познания, реализуется через модель познания, когда познаваемая сущность (объект, некое целое) рассматривается как совокупность взаимосвязанных уже познанных сущностей, называемых его свойствами. При этом, формулировка сравнительного способа познания видится следующей:
Познание объекта любой сущности - есть определение свойств слагающих эту сущность, величин этих свойств, вида взаимозависимости объекта от этих свойств (функции). Завершается познание формулированием понятия (названия) познанной сущности. Или
Объект познания ={ совокупность свойств различной природы, их величин; функций (зависимостей целого от этих свойств)} (1)
Наш математик С.Ф.Клюйков писал: “Числа – это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания”. (Конечно, он имел ввиду виды чисел (натуральные, комплексные, отрицательные и пр.) Прим. авт.). Интересно высказывание немецкого математика Кронекера ( XIX век): "Бог создал целые числа, все остальные - дело рук человека." Что подчёркивает искусственность многих видов числа.
В развитии мысли С.Ф.Клюйкова, можно сказать, что все науки (математика, физика, химия , биология, генетика и все проч.) являются моделями познания, в которых объекты познания - есть совокупности свойств: математических (алгебраических, геометрических и т.д.); физических (механических, волновых, квантомеханических и т.д.); химических (биохимических и пр.); генетических ; исторических и проч.
В развитие определения (1) следует:
Величина любой сущности - результат сравнительного познания, как определения соотношения познаваемой сущности определённой размерности (природы) с общепринятым "единичным" экземпляром этой сущности (эталоном). Величина состоит из числа и его размерности (природы познаваемой сущности).
Величина = { число; размерность} (2)
С.Ф.Клюйков же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями и определил, что функция может быть числом. Что соотносится с определением познания объекта любой сущности - есть определение свойств слагающих эту сущность, величин этих свойств, вида взаимозависимости объекта (функции) от этих свойств. Кстати, комплексное число вида a+ib - есть функция, ведь i-есть переменная величина (-1;+1) . Иррациональное число (в геометрической интерпретации, как гипотенуза прямоугольного треугольника) может определяться как величина катета помноженная на синус прилежащего угла, то есть тоже функция (зависимость) от величины угла. Многочлен тоже может быть числом, ибо к нему применимы арифметические операции. Многие функции можно складывать, вычитать, делить, умножать и проч. Ну чем не числа?
Таким образом, исходя из определения (2) общее определение числа следующее:
Число - результат познания величины как соотношения познаваемой сущности с единичным экземпляром этой сущности. Число может быть и результатом познания величины как отношения познаваемой в величине функции с единичным (эталонным) видом функции.
Определения частные:
Число объективное - результат объективного познания (определения сравнительной характеристики (величины) как соотношение познаваемой сущности с единичным общепринятым эталоном этой сущности). Либо отношение познаваемой функции с эталонной единичной функцией.
Число субъективное - результат субъективного познания (определения сравнительной характеристики (величины) как соотношение познаваемой сущности с единичным субъективным "не эталоном" этой сущности). Либо отношение познаваемой функции с произвольно выбранной единичной функцией.
Итак, мы определили непротиворечивое понятие числа в которое "укладываются" и определения пифагорейцев, и Эвклида, и Магницкого, и Ньютона и современных методологов от математики.
А что есть число по-вашему мнению?
Подписывайтесь на дзен-канал - "Философия Относительности" https://dzen.ru/filoso . Есть канал в Телеграмм - https://t.me/fogenerator с аудио-версиями статей.