На сегодня математики нашли только пять простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537, а вообще чисел Ферма (не только простых) бесконечно много и все эти числа (F) вычисляются по такой формуле:
F = 2^(2^n) + 1, (1)
где n = 0, 1, 2, 3, 4, … – бесконечный ряд натуральных чисел. Однако в рамках числофизики простое число 2 также можно считать простым числом Ферма, поскольку при устремлении параметра n к «минус» бесконечности – число F, согласно формуле (1), устремляется к числу 2 (поскольку 2^0 = 1). Это напоминает ситуацию с числом 1, ведь единицу можно считать простым числом (так иногда математики и поступают), правда, при этом порядковый номер (K~ P/lnP) числа Р = 1 (в ряде всех простых чисел) устремляется … к бесконечности.
Тот факт, что 2 – это также простое число Ферма, возможно, является одним из подходов к доказательству того, что при n > 4 простых чисел Ферма больше не существует (автор и этого не исключает), то есть все прочие числа Ферма будут составными числами (подробности здесь).
Соотношение разных вероятностей в мире чисел
Автором была найдена вероятность (В) появления простого числа Ферма согласно правилу умножения вероятностей: вероятность того, что одновременно произойдут несколько независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий:
В = Vр∙Vn, (2)
где: Vp ≈ ℮^0,5/ln(C^2 + 1) – вероятность того, что число (C^2 + 1) окажется простым числом (℮ = 2,718…);
Vn = n/C ≈ (lnlnF – lnln2)/ln2/C – вероятность того, что число (C^2 + 1) окажется числом Ферма (любым: простым или составным);
С = (F – 1)^0,5 = 2^[2^(n – 1)] – это (при n = 1, 2, 3, 4, 5,…) натуральное число (С = 2, 4, 16, 256, 65536, …), которое никогда не будет простым числом, причем число С всегда стоит в начале некой ступени Ствола (см. рис. 1).
В части вероятности (В), например, уже для шестого (n = 5) числа Ферма (F= 4294967297) по формуле (1) мы получаем вероятность В ≈ 0,000 005 671. При n = 6 получаем В ≈ 1/10^10 и т.д. Разумеется, что при столь ничтожно малой вероятности (которая стремительно убывает к нулю) – встретить простое число Ферма – это, практически, невероятное событие.
Пояснения к четырем графикам на рис. 2
На красной линии лежат фиктивные вероятности (Vn* = n*/Kм) встретить фиктивное число Ферма (F*) среди реальных метачисел (М, каждому из них соответствует своё вещественное значение n*, поэтому и говорим о фиктивной вероятности). Реальные вероятности (Vn) – это всего лишь 20 точек, лежащих на серой линии. На желтой линии лежат вероятности (Vб) встретить пару простых чисел-близнецов среди всех простых чисел на отрезке [2; М].
На синей линии лежат вероятности (Vм) встретить метачисло среди типомаксов (сверхсоставных чисел). Причем в точке пересечения красной и синей линий мы имеем: Vм ≈ Vn* ≈ α = 0,00729735… . Таким образом, в рамках числофизики возникает следующая гипотеза: постоянная тонкой структуры (α ≈ 1/137 в теоретической физике) численно равна вероятности (Vм) встретить метачисло среди типомаксов, когда данная вероятность становится равной фиктивной вероятности (Vn*) встретить фиктивное число Ферма (F*) среди реальных метачисел (M).
Числа Ферма через призму космофизики
Зона обита́емости(зона Златовла́ски) – так в астрономии называется условная область в космосе вокруг некой звезды (в нашей Галактике), где вероятность возникновения жизни (похожей на земную) наиболее велика. В этой зоне условия на поверхности планет будут близки к условиям на Земле и будут обеспечивать существование воды в жидкой фазе (вода является необходимым растворителем во многих биохимических реакциях).
Нахождение планеты в обитаемой зоне и её благоприятность для жизни не обязательно связаны: первая характеристика (скажем, вероятность V1) описывает условия в планетной системе в целом, а вторая (скажем, вероятность V2) – непосредственно на поверхности небесного тела. Тогда вероятность (Вж) появления жизни на планете – это произведение указанных вероятностей:
Вж = V1∙V2. (3)
По такому принципу (перемножение разных вероятностей) было составлено ещё в 1960 году и уравнение Дрейка – формула для определения числа внеземных цивилизаций в Галактике, с которыми у человечества есть шанс вступить в контакт.
И здесь уместно провести аналогию с вероятностью появления простых чисел Ферма (см. формулу 2), которая стремительно убывает и нечто подобное, возможно, происходит и с вероятностью Вж. Более того, вероятность появления жизни на экзопланете планете (Вж), возможно, буквально «зашифрована» в мире натуральных чисел, поскольку он (согласно числофизике) «моделирует» фундамент Мироздания («устройство» его дискретного пространства-времени).
Астрономи́ческая единица(а.е.) – единица измерения расстояний в астрономии, примерно равная среднему расстоянию от Земли до Солнца. (около 150 млн км). Световой год – это около 63241 а.е. – такое расстояние проходит фотон за 1 земной год.
Если исходить из того, что звёзд подобных Солнцу – большинство в нашей Галактике (и во Вселенной), то можно полагать, что 2 а.е. – это размер (диаметр) зоны обитаемости, которая наиболее вероятная (и не только в Галактике, но и во Вселенной?).
Числа Ферма(2, 3, 5, 17, 257, 65 537; 4,3∙10^9; 1,8∙10^19; …) можно воспринимать как некие размеры, выраженные в а.е., при этом получаем следующую довольно любопытную картину:
2 а.е. – средний диаметр орбиты Земли (почти круговой), а также размер зоны обитаемости в Галактике (и во Вселенной?).
3 а.е. – средний диаметр (то есть размер) орбиты Марса (зона обитаемости вокруг Солнца – довольно спорная, условная, «писанная вилами на воде» величина, поэтому её вполне можно расширить и до 3 а.е., то есть до среднего размера орбиты Марса).
5 а.е. – средний диаметр пояса астероидов вокруг Солнца.
17 а.е. – почти средний диаметр орбиты Сатурна (19 а.е.).
257 а.е. – условный средний размер орбиты Седны (сильно вытянутой: от 152 до 1800 а.е.). Это один из наиболее удалённых известных объектов Солнечной системы (кроме комет), размер Седны – около 995 км. Скорее всего, Седну стоит считать первым известным представителем внутренней части облака Оорта.
65537 а.е. (и старшее известное простое число Ферма) – это почти 1 световой год и условный размер облака О́орта. Это гипотетическая сферическая область вокруг Солнца, являющаяся источником долгопериодических комет. Расстояние от Солнца до внешних границ облака Оорта составляет от 50 000 до 100 000 а. е.
4,3∙10^9 а.е. (и 7-ое число Ферма) – это около 68 тысяч световых лет, что можно принять за размер большинства галактик (их размер от 16 до 800 тысяч световых лет). Размер (диаметр) нашей и довольно большой Галактики – около 100 тысяч световых лет.
1,8∙10^19 а.е. (и 8-ое число Ферма) – это примерно в 3124 раза больше, чем видимый диаметр (размер)Вселенной, который равен 93 млрд световых лет (порядка 5,9∙10^15 а.е.). При этом следует понимать, что размер видимой (наблюдаемой) Вселенной обусловлен не только возрастом Вселенной, но и расширением Вселенной.
Мы рассмотрели первые восемь чисел Ферма, но только через призму космофизики (от зоны обитаемости и вплоть до границ Вселенной). Однако первые числа Ферма можно рассмотреть и через призму микрофизики (скажем, от характерных размеров молекулярной и ядерной физики и вплоть до размеров квантов пространства и времени). Или, например, через призму характерных размеров живой природы (от вирусов и бактерий до синих китов на нашей планете). Наверняка, и там читатель сам найдет немало интересных примеров.
Вместо заключения
По мнению автора, помимо простых чисел 2, 3, 5, 17, 257, 65537, могут существовать и другие простые числа Ферма (то есть их … бесконечно много). Однако вероятность их появления столь мизерная и так быстро убывает (при большой сложности поиска простых множителей в каноническом виде чисел Ферма), что практически нет шансов найти ещё простые числа Ферма (даже с помощью квантовых компьютеров?). Причем, возможно, данная проблема такого же порядка (образно говоря, такой же «математической природы»), как и поиск жизни на экзопланетах в нашей Галактике (и даже во всей Вселенной).
09.04.2024, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2024