В предыдущих трёх частях этой мини-серии: Обмен, Температура, Энтропия, мы рассмотрели нехитрую модель менового рынка, которая позволила прояснить некоторые экономические и термодинамические понятия и явления.
Покуда наша модель обмена никак не учитывает достатка игроков, она остаётся нереалистичной. В действительности, богатые тратят больше, а бедные меньше, более того, разумные люди стараются сохранить какую-то часть своего состояния. В качестве следующего усложнения модели, давайте потребуем, чтобы игроки при обмене отдавали некую известную долю своего состояния, 0 < α < 1.
В систему вводится новый параметр и новое ограничение, следовательно, равновесное состояние должно как-то отклониться от экспоненциального. Оперируя долями от уровня благосостояния, мы переходим к мультипликативным характеристикам, таким, например, как доходность вложения, возврат инвестиций и т.д. Во всех учебниках по экономике указывается, что если вы желаете вычислить среднюю доходность вложения, скажем, за много лет, следует вычислять среднее геометрическое для доходностей каждого года. В нашем случае среднее геометрическое однозначно, хоть и нетривиально, определяется значением α. Таким образом, добавляя новый параметр, мы фиксируем среднее геометрическое распределения дохода игроков, или среднюю доходность модели рынка. Значит, согласно таблице распределений с максимальной энтропией, мы можем ожидать, что равновесное распределение богатства должно неплохо описываться гамма-распределением. В этом мы можем убедиться, проведя имитационное моделирование.
Этот блог, хоть и популярный, но, всё же, математический. Это значит, что результаты, попавшие в статьи, имеют доказательства или строгий вывод, пусть, зачастую, остающиеся и за пределами изложения ввиду их громоздкости. И хотя для дальнейшего изложения этот результат не нужен, я приведу точное, и довольно изящное выражение для распределения, которое мне удалось получить для модели пропорционального обмена.
Гамма-распределение Gamma(k, θ) — это двухпараметрическое распределение, которое часто используется, как обобщение экспоненциального и сводится к нему при k = 1. Оно имеет ряд замечательных свойств, делающих его полезным. Об одном из них, мы уже говорили — это распределение с максимальной энтропией в своём классе. Другое важное свойство — его бесконечная делимость и связанная с этим устойчивость. Бесконечно делимой называется случайная величина, распределение которой можно получить, как сумму одинаково распределённых случайных величин. А если эти слагаемые сами подчиняются этому же распределению, то оно называется устойчивым. Ярким примером устойчивого распределения является нормальное распределение. И именно это его свойство вместе с тем, что оно является распределением с максимальной энтропией в самом широком классе распределений, делает его героем центральной предельной теоремы.
Но вернёмся к гамма-распределению. Для него верно, что
Кроме того, гамма-распределение масштабируемо:
Эти свойства позволили получить распределение благосостояния для нашей модели со средним значением m и коэффициентом α в таком виде:
В модели обмена фиксированной суммой вероятность потерять все деньги была достаточно велика. В модели пропорционального обмена она оказывается равна нулю. Это связано с тем, что они тратят в среднем меньше, чем получают от богатых, ведь и те и другие обмениваются долями своего капитала. Но этот социальный лифт действует только при α < 1/2. Если тратить больше половины того, что имеешь, вероятность оказаться в бедняках становится не просто отличной от нуля, но и весьма ощутимой. Для различных значений можно получить различающиеся по форме распределения с широким диапазоном несправедливости:
Получается, что чем большую часть своего капитала игроки вынуждены тратить (например, на повседневные нужды или еду), тем больше становится доля бедных и тем менее справедливым становится общество. Любопытно, что при α = 1/2 равновесное распределение становится экспоненциальным, как в модели при равном обмене. Напомню, что экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения с параметром k = 1, так что это превращение, само по себе, неудивительно. Но тут есть одна любопытная тонкость: энтропия этого частного случая превышает энтропию распределений с любыми другими значениями α. Посмотрите, как изменяется энтропия по мере развития ситуации при α = 0.75:
Поначалу значение энтропии монотонно увеличивается, потом, практически достигнув теоретического максимума, соответствующего экспоненциальному распределению, рост энтропии останавливается и она начинает уменьшаться. Нет ли в этом противоречия с определением равновесного состояния, как состояния с максимумом энтропии? Противоречия нет, поскольку равновесное состояние должно быть, во-первых, стационарным, то есть не создающим направленных потоков энергии, а во-вторых, устойчивым, или, говоря языком теории динамических систем, притягивающим к себе систему. И из всех стационарных равновесным будет состояние с максимальной энтропией. А в нашем случае α = 0.75, экспоненциальное распределение соответствует нестационарному состоянию.
Исследователи из Бостонского университета Исполатов и Крапивский (S. Ispolatov, P.L. Krapivsky, S. Redner, Wealth Distributions in Models of Capital Exchange. Eur. Phys. J. B. 2, 267 (1998).) усложнили модель пропорционального обмена таким образом, что обмен происходит с учётом не только благосостояния тратящего, но и получающего. Миллионер редко покупает что-либо у зеленщика, и зеленщик нечасто имеет большой доход, с другой стороны, производитель автомобилей экстракласса будет взаимодействовать лишь с богатыми клиентами, но и сам останется не в накладе.
И вот, в моделях, в которых богатые начинают платить преимущественно богатым, а бедные — бедным, общество «разваливается» окончательно. Если денежные потоки становятся зависимы от капитала, система теряет устойчивость и приводит к постоянному обнищанию группы и к всё большему нарастанию классового неравенства.
В такой системе существует только одно стационарное состояние: когда все игроки не имеют (и следовательно, не получают) ровным счётом ничего, а всё богатство достаётся кому-нибудь одному. Коэффициент Джини в таком состоянии практически равен единице, и оно очень далеко от нормального равновесного — его энтропия почти равна нулю. Спасти положение можно различными способами. Можно ввести ограничение снизу, запрещающее игрокам терять абсолютно все сбережения, и в этом случае равновесное распределение становится снова экспоненциальным либо гамма-образным. Можно организовать подобие налогообложения, обеспечивающее стабильный поток средств от богатых ко всем и, в том числе, к бедным. Модель такого «дикого рынка» вполне применима к рынку ценных бумаг без каких-либо ограничений, но на реальных биржах с этим борются, вводя ограничения на объем сделок, совершаемых за день и на максимальные уровни роста или падения цены на тот или иной актив.
Всё это печальные выводы, говорящие не в пользу свободного рынка, то ли дело, модель, предложенная Шариковым! А какова же энтропия у вырожденного распределения? Согласно стандартной формуле, она в точности равна нулю. Это самое неравновесное, самое маловероятное распределение, и в любой модели обмена оно нестационарно, так что получить подобное общество можно только искусственно. Дикий рынок, конечно, не подарок — он неустойчив и тяготеет к вопиющему неравенству. Требуется множество взаимосогласованных ограничений и тонко настроенных связей для построения устойчивого рынка и более или менее справедливого общества. Человечество исследует этот вопрос ещё не очень долго и в основном, на ощупь, методом проб и ошибок, но одно ясно: несправедливость в экономическом пространстве — не следствие поганой человеческой натуры, а объективное свойство системы, частью которой мы все являемся. Более того, попытки создать абсолютную справедливость по-шариковски всегда проходили с боем и кровью, а результаты, в силу её неравновесности, существовали недолго.
Вряд ли молекулы и атомы рассуждают о несправедливости своего мира, да и физики с инженерами за двести лет смирились с тем, что какую бы идеальную тепловую машину они не построили, хаос не позволит преобразовать тепло в работу больше положенной доли. Когда понятно, то не так обидно. Надеюсь, эта глава поможет читателю понять и принять свойства нашего сложного и несправедливого мира. Принять, не смирившись, а оттолкнуться от них, как от условий задачи и постараться найти такие её решения, которые помогли бы уменьшить эту несправедливость. На то нам и дан разум!