Алексей Бычков ушел на фронт добровольцем.
- С июля 1941 г. по сентябрь 1941 г. – курсант Сумского артиллерийского училища, участвовал в боевых действиях.
- С декабря 1941 г. по сентябрь 1942 г. – участник боев на Калининском и Западном фронтах.
- Ноябрь 1942 г.– апрель 1943 г. – курсант артиллерийского училища.
- В апреле 1943 г. – августе 1943 г. – командир взвода 37-ой механизированной бригады на Степном фронте. Был несколько раз ранен.
А.В. Бычков награжден орденом Красной Звезды, медалью «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.».
- С 1945 г. по 1948 г. – студент отделения английского языка факультета иностранных языков ПГПИ. По окончании направлен на работу в Ставропольский государственный педагогический институт иностранных языков.
- С 1959 г. – старший преподаватель кафедры английского языка.
- с 1962 г. по 1968 г. – декан факультета английского языка ПГПИ.
- В 1970 г. защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата педагогических наук, в 1972 г. ему присвоено звание доцента.
- С 1971 г. занимал должность заведующего кафедрой английского языка второй специальности.
- С 1975 г. по 1977 г. – проректор по учебной работе.
- В 1977 – 1983 гг. – проректор по научной работе.
А.В. Бычков награжден знаком «Отличник народного просвещения», «За отличные успехи в работе».