Логарифмом числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Логарифм записывается в виде:
logₐ b
где:
• a - основание логарифма
• b - число, логарифм которого ищется
Виды логарифмов:
1. Десятичный логарифм (основание 10)
• Обозначение: log b
• Например: log 100 = 2 (потому что 10² = 100)
2. Натуральный логарифм (основание e ≈ 2,71828)
• Обозначение: ln b
• Например: ln e = 1 (потому что e¹ = e)
3. Другие логарифмы (любое основание, кроме 10 и e)
• Например: log₂ 8 = 3 (потому что 2³ = 8)
Формулы для логарифмов:
1. Свойства логарифмов:
• logₐ 1 = 0
• logₐ a = 1
• logₐ (b · c) = logₐ b + logₐ c
• logₐ (b/c) = logₐ b - logₐ c
• logₐ bⁿ = n · logₐ b
2. Преобразования логарифмов:
• logₐ b = logₐ c · logₐ b
• logₐ b = ln b / ln a
• ln b = logₐ b · ln a
3. Решение логарифмических уравнений:
Для решения логарифмических уравнений используйте следующие действия:
• Сделайте основание логарифмов одинаковым с обеих сторон уравнения.
• Упростите уравнение с помощью свойств логарифмов.
• Решите результирующее показательное уравнение.
Примеры решения логарифмических уравнений:
• Пример 1:
Решите уравнение: log₂ x = 5
Решение:
2⁵ = x
x = 32
• Пример 2:
Решите уравнение: ln(x - 2) = 3
Решение:
e³ = x - 2
x = e³ + 2
x ≈ 20,086