Задача с параметром - самая дорогая задача во 2 части ЕГЭ (наравне с олимпиадной задачей). Она даёт целых 4 первичных балла. Многие откровенно боятся её решать, во многом потому что в большинстве школ задачи с параметром почти не решают. И зря, задачи с параметром можно и нужно решать ученикам с хорошей математической базой. Они интересны, хорошо закрепляют основные темы школьной алгебры и по-своему красивы. Тем более, что в последние годы прослеживается тенденция упрощения задач с параметром. В этой статье мы будем решать задачу графическим способом: во-первых, это самый красивый и наглядный метод решения, а, во-вторых, в последние годы задачи именно на этот способ встречаются на реальном ЕГЭ
Условие: Найдите при каких значениях параметра a данная система уравнений имеет ровно 3 различных решения:
P.S. Если вы не видите уравнения, переключитесь на светлую тему. Вероятно это баг дзена.
Почему эту задачу лучше решать графическим способом? На это указывают несколько обстоятельств:
- Мы можем легко построить график каждого уравнения систем. График второго уравнения - это прямая, про график первого уравнения поговорим чуть позже, но на этапе предварительного анализа видно, что график построить можно без привлечения производной
- В системе от параметра зависит только второе уравнение. Следовательно, график первого уравнения будет постоянным, что значительно упростит решение задачи графическим способом
- Прямая подстановка приводит к трудоёмким вычислениям. Можно попробовать подставить значение y в первое уравнение, потом раскрыть скобки, попытаться что-то сделать с модулем и закопаться окончательно.
Поэтому решаем задачу графически. Построим график первого уравнения, для этого нужно избавиться от модуля. Раскроем модуль по определению.
1. Пусть x≥0:
Произведение функций равно 0, если хотя бы одна из функций равна 0
Получается, что первая часть графика состоит из прямой x=0 и луча y=(2/5)x + (4/5), который начинается в точке 4/5
2. Пусть x<0
Перед нами уравнение окружности. Его нужно помнить и уметь узнавать, так как составители ЕГЭ очень любят её использовать в задачах с параметром. Вот так выглядит уравнение в общем виде:
В нашем случае центр окружности находится в точке (0,0), а её радиус равен 2. Теперь, время вспомнить об условии x<0. Тогда вторая часть графика будет выглядеть как полуокружность в левой половине координатной плоскости.
Итоговый график первого уравнения:
Отлично, теперь поговорим о втором уравнении:
Это уравнение задаёт множество прямых, проходящих через точку (-3;0). Действительно, при x=-3 уравнение будет равно 0 вне зависимости от значения a. Изобразим это множество прямых на графике первого уравнения:
Мы получили красивую, а главное наглядную демонстрацию данной задачи. Решение системы - это пересечение графиков уравнений системы, а в нашей задаче требуется, чтобы таких решений было ровно три. Значит нужно найти такие прямые из множества решений второго уравнения, которые пересекают график первого уравнения трижды. Нетрудно видеть, что такое возможно только в двух случаях:
- Прямая пересекает полуокружность дважды, а затем пересекает прямую x = 0
- Прямая пересекает полуокружность, затем пересекает прямую x = 0, а потом пересекает луч y = (2/5)x + (4/5)
Чтобы найти значения параметра a, которые соответствуют этим случаям, нужно найти пограничные значения для конкретного случая.
Разберём первую ситуацию: очевидно, что значение параметра a, при котором прямая касается полуокружности, будет пограничным значением. Причём (это важно!) само это значение не войдёт в ответ, так как в ситуации, когда прямая касается полуокружности, у системы уравнений будет всего лишь 2 ответа, а не 3.
Как найти уравнение касательной? Конечно, можно решать через производную, но мы поступим по другому. Включим в новую систему уравнение полуокружности и уравнение прямой, а затем потребуем, чтобы система имела ровно 1 корень (т.к касательная имеет ровно одну точку пересечения)
Подставим значение y из первого уравнения во второе уравнение.
Чтобы уравнение имело единственный корень, его дискриминант должен быть равен 0
Получаем ответ:
Мы получили два значения в ответе, что ожидаемо. Из точки к окружности можно провести две касательные. То есть, для первой ситуации у нас будет два ответа, два интервала, которые будут отличаться лишь знаком, так как точка и полуокружность симметрична относительно оси Ox.
Нам нужно найти второе пограничное значение для точного определения интервала. Очевидно, что это значение будет соответствовать прямой проходящий через точку пересечения прямой x = 0 и полуокружности, т.е через точку (0, ±2).
Подставим значения x = 0 и y = ±2 в уравнение прямой.
Итого ответ для первого случая:
Разберём второй случай: используя аналогичные рассуждения, легко заметить, что первое пограничное значение будет соответствовать прямой, проходящей через точку пересечения прямой x = 0 и луча y = (2/5)x + (4/5). Нетрудно видеть, что координаты этой точки (0, 4/5).
Подставим эти координаты в уравнение прямой:
Найдём второе пограничное значение. Начиная с какого значения x прямая перестанет пересекать луч? С момента, когда она станет параллельной этому лучу. У параллельных прямых есть удобное свойство: одинаковый коэффициент наклона. Коэффициент наклона луча равен 2/5, значит и коэффициент прямой должен быть равен 2/5, но с другой стороны он равен 5a, значит пограничное значение параметра a равно 2/25. Тогда мы получаем ответ для второго случая:
Объединяя ответы первого и второго случая, получаем итоговый ответ:
Спасибо за прочтение статьи. Поддержите молодой канал лайком, а также не забудьте подписаться, если вы интересуетесь всем, что связано с ЕГЭ и поступлением в ВУЗ. А если у вас есть, что добавить или предложить - пишите ваши мысли в комментариях В будущем вас ждёт ещё больше контента)