Представьте, что у нас есть 2 монеты. Радиус большей монеты в 3 раза больше радиуса меньшей монеты.
Мы катим меньшую монету вокруг края большей монеты, не допуская скольжения:
Вопрос в том, сколько раз меньшая монета повернется, пока будет катиться вокруг большей монеты?
Результат может быть не совсем тем, что вы ожидаете, и в этой статье мы рассмотрим несколько объяснений, почему это так. Кроме того, мы исследуем, как этот парадокс связан с астрономией!
"Очевидный" ответ
Если окружность меньшей монеты равна C, то окружность большей монеты должна быть 3C, поскольку окружность пропорциональна радиусу.
Это означает, что для того, чтобы обернуться вокруг большей монеты, меньшая монета должна пройти расстояние в 3 раза больше своей окружности, что означает, что она должна повернуться 3 раза.
Но это не то, что происходит на самом деле!
Вот анимация того, что действительно происходит:
Маленькая монета на самом деле поворачивается 4 раза, прежде чем вернуться в исходное положение.
Это может показаться очень странным. Если большая монета имеет в 3 раза большую окружность, чем маленькая монета, и маленькая монета вращается без скольжения, как она может сделать 4 оборота, чтобы вернуться в исходную точку?
Но это действительно так. Это не анимационный трюк, если вы попробуете это с настоящими монетами, вы получите тот же эффект. И, как мы увидим, это также хорошо известный эффект в астрономии.
Независимо от относительных размеров монет, маленькая монета всегда вращается на один раз больше, чем можно было бы ожидать. Если маленькая монета была бы четвертью размера большой монеты, она бы вращалась 5 раз. Если бы она была половиной размера, она бы вращалась 3 раза. Если бы обе монеты были одинакового размера, она бы вращалась дважды.
Мы рассмотрим 2 различных разрешения этого парадокса.
Решение 1 — катание вокруг круга добавляет дополнительное вращение
Это первое разрешение является для меня более интуитивным объяснением. Оно основано на наблюдении, что с точки зрения большой монеты, маленькая монета действительно вращается 3 раза. Мы можем видеть это здесь:
Маленькая монета нарисована с черной линией, которая изначально указывает на центр большой монеты.
С точки зрения большой монеты, маленькая монета завершит полный оборот, когда черная линия снова укажет на центр большой монеты. Это происходит после 120 градусов, затем снова после 240 градусов и, наконец, после полного вращения на 360 градусов.
Таким образом, с этой точки зрения, маленькая монета вращается 3 раза, и каждое вращение соответствует вращению монеты вдоль одной трети окружности большой монеты. Так что здесь нет парадокса.
Но когда мы смотрим на ситуацию с точки зрения внешнего наблюдателя, мы видим одно дополнительное вращение. Почему это так? Ну, это потому что, катясь по краю большой монеты, маленькая монета также двигается по большому кругу.
Мы можем разделить это движение. Давайте уберем большую монету и вместо этого поместим маленькую монету на проигрыватель. Монета полностью неподвижна относительно проигрывателя:
В начале, когда монета находится в верхней части изображения, линия на монете указывает прямо вниз. После того, как проигрыватель повернулся на 90 градусов, линия на монете указывает влево. После еще 90 градусов монета находится в нижней части изображения, и линия указывает прямо вверх, и так далее.
К тому времени, как проигрыватель вернется в исходное положение, монета фактически повернется на полный оборот вокруг своего центра.
Сочетание этих двух эффектов означает, что монета повернется 4 раза, а не 3.
Решение 2 — важно только расстояние, пройденное центром монеты
Эта диаграмма показывает, что происходит, если мы катим маленькую монету по плоской поверхности:
Окружность монеты равна C. Это означает, что если центр круга перемещается на расстояние C, и круг не скользит, круг должен совершить ровно один полный оборот.
Мы можем сказать, что если центр круга, окружность которого C, катится без скольжения на расстояние C, круг должен совершить ровно один полный оборот.
Если мы применим этот принцип к вращающемуся кругу, это выглядит так:
Маленькая монета имеет радиус r и окружность C. Большая монета имеет радиус 3r.
Центр маленькой монеты движется по пунктирному кругу. Радиус этого круга равен r плюс 3r, всего 4r. Это означает, что окружность пунктирного круга равна 4C.
Поскольку центр маленькой монеты перемещается на расстояние 4C, он должен совершить 4 полных оборота.
Это все еще кажется мне немного неудовлетворительным. Центр перемещается на 4C, но край только катится по кривой длиной 3C. Как это работает?
Кочение вокруг многоугольника
Мы можем получить интуицию (хотя и не доказательство) того, что происходит, когда мы катим монету вокруг квадрата. Ниже приведена анимация, показывающая квадрат с длиной стороны C (снова, окружность монеты):
Красная линия показывает путь, который проходит центр монеты вокруг квадрата.
Давайте сначала рассмотрим одну из прямых сторон. Когда монета катится вдоль одной стороны квадрата, она вращается ровно один раз (потому что длина стороны равна C). Также обратите внимание, что прямая часть красной кривой имеет такую же длину, как одна сторона черного квадрата.
Теперь посмотрим, что происходит на углу. Монета поворачивается над углом на 90 градусов. Часть монеты, которая соприкасается с квадратом, не двигается, но монета не скользит, она просто поворачивается.
На каждом углу центр монеты проходит по круговой траектории. Это четверть круга, и радиус равен радиусу монеты. После прохождения вокруг полного квадрата 4 закругленных угла в сумме составят полный круг с тем же радиусом, что и монета.
Таким образом, в итоге монета совершит дополнительное полное вращение (в дополнение к вращениям, которые она совершает, катясь вдоль краев). И путь, пройденный центром монеты, точно на C длиннее, чем суммарная длина всех сторон, вокруг которых катится монета. Но без скольжения монеты.
Это точно такое же поведение, которое мы видели при вращении монеты вокруг большей монеты, но в этом случае поведение объясняется тем, что монета поворачивается над каждым углом.
Вот что происходит с восьмиугольником:
На этот раз есть 8 сторон и 8 дуг. Каждая дуга составляет одну восьмую оборота, так что снова дуги в сумме составляют полный круг. Эффект такой же, как у квадрата — путь центра монеты проходит на расстояние C длиннее, чем периметр фигуры, и монета поворачивается на дополнительные 360 градусов. Но это происходит в 8 шагов, а не в 4.
Если мы увеличим количество сторон до 16, шаблон продолжится:
По мере увеличения количества сторон длина каждой стороны уменьшается, и размер каждой дуги уменьшается. В конце концов, форма стремится к кругу, так что дополнительное расстояние и угол добавляются непрерывно, а не ступенчато.
Так что достаточно о монетах, давайте перейдем к чему-то побольше. Наша солнечная система состоит из круглых объектов, которые вращаются вокруг своих осей, вращаясь вокруг других круглых объектов, и применяются те же правила. Мы немного упростим описание здесь, предполагая, что наша солнечная система находится все в одной плоскости, но это не слишком влияет на результат.
Пример — Луна
Когда Луна обращается вокруг Земли, мы всегда видим одну и ту же сторону, ближнюю сторону. Мы никогда не видим "темную" сторону Луны. С нашей точки зрения, Луна не вращается. Аналогично, если вы стоите на части Луны, где Земля находится прямо над головой, то Земля всегда будет прямо над головой.
Вот диаграмма этого:
Причина, по которой мы всегда видим одну и ту же сторону Луны, заключается в том, что сама Луна вращается вокруг своей оси ровно один раз за время, необходимое ей для обращения вокруг Земли. Луне требуется около 27,332 дней, чтобы обернуться вокруг Земли, и ровно столько же времени требуется Луне, чтобы совершить один оборот вокруг своей оси.
Эти два периода времени не просто близки, они практически идентичны. Даже если бы они отличались на 0,1%, мы бы видели, как Луна очень медленно вращается (ей потребовалось бы почти 40 лет, чтобы сделать полоборота, так что мы бы увидели ее противоположную сторону). Но этого не происходит. Конечно, это не случайность, это вызвано приливным захватом.
Пример — звездное время
Земля, как мы все знаем, имеет 24-часовой день и занимает примерно 365,25 дня, чтобы обернуться вокруг Солнца.
Но мы наблюдаем это с Земли. Если бы инопланетяне наблюдали за нашей планетой издалека за пределами нашей солнечной системы, разве они не наблюдали бы, как Земля вращается 366,25 раза в году?
Ну да, конечно, они бы, все, что мы видели до сих пор, это доказывает. Но год остается годом для обоих наблюдателей. Так откуда берется дополнительный день?
Разница, конечно, обусловлена разными определениями дня. Вот что мы на Земле думаем о дне:
Если мы запустим часы, когда Солнце находится над головой, а затем подождем, пока Солнце снова окажется над головой, мы обнаружим, что прошло 24 часа. Диаграмма преувеличена для ясности, Земля вращается вокруг Солнца примерно на 1 градус в день.
Вот как инопланетные наблюдатели измерили бы день:
Они бы измерили день как один полный оборот Земли в их системе отсчета. Земле требуется около 23 часов и 56 минут, чтобы вращаться вокруг своей оси. Потребуется дополнительные 4 минуты, чтобы Земля повернулась немного дальше, так что Солнце снова было над головой. Это называется звездным днем, и, поскольку это немного короче, чем земной день, действительно в году 366,25 звездных дней.
Мы можем наблюдать звездные дни с Земли, глядя на положение далеких звезд. Им требуется 23 часа 56 минут, чтобы появиться снова в том же месте, потому что это фактическое время, необходимое Земле для вращения на 360 градусов вокруг своей оси.
Дополнительные 4 минуты - это время, необходимое для того, чтобы Солнце снова было над головой, потому что Земля немного переместилась вокруг Солнца с момента предыдущего дня.