Вы, возможно, слышали о задаче трех тел раньше. Эта известная физическая головоломка существует как минимум с 1600-х годов. Проблема продолжает оставаться «неразрешимой» в обычном смысле, но ученые нашли множество обходных путей. То, что делает задачу трех тел такой интересной, заключается в том, что она, по-видимому, выходит за рамки наших текущих математических инструментов. Это ставит ее в один ряд с неразрешимостью, такой как Гипотеза Коллатца или проблема P против NP. Возможно, когда-нибудь будут открыты новые математические инструменты, которые позволят нам ее решить.
То, что делает задачу трех тел такой интересной, это то, насколько проста ее постановка. Вам не нужно знать никакого специального математического жаргона, чтобы понять ее. В основном, ученые хотят найти набор уравнений, которые описывают движение Солнца, Земли и Луны, действующих только под влиянием гравитации друг друга. У нас есть только эти три объекта, вращающиеся друг вокруг друга, и ученые хотят иметь «закрытое решение», или уравнение, чтобы описать их движение. Было показано, что это невозможно с учетом текущих математических методов.
Однако нам не нужно отчаиваться. Существует множество обходных путей, которые не предоставляют точных уравнений, но могут приблизить нас достаточно близко. С увеличением вычислительной мощности ученые смогли придумать все более точные приближения. В этой статье мы проведем некоторое время, обсуждая другие версии этой проблемы и то, как они решаются, затем мы можем посмотреть на некоторые рассчитанные решения для задачи трех тел. Здесь много о чем говорить, включая несколько крутых видео, так что давайте погрузимся!
Земля, вращающаяся вокруг Солнца, является примером задачи двух тел (Источник) Держим все просто Прежде чем мы потратим много времени на сложную задачу трех тел, давайте немного сузим область и посмотрим только на два тела. Сценарий здесь становится невероятно проще. Вы, возможно, слышали о Кеплере и его трех законах, все они описывают орбиту планет вокруг Солнца. Эти законы, по сути, говорят о задаче двух тел, потому что каждая планета в основном чувствует влияние только Солнца. Небольшие отклонения происходят из-за притяжения других планет.
Мы обычно думаем об орбите как о планете, вращающейся вокруг Солнца. Это одна из форм задачи двух тел, но она гораздо проще из-за огромной разницы в массе. Солнце настолько больше Земли, что едва двигается. В контрасте, Земля имеет большую часть движения и вращается вокруг Солнца. Каждый объект технически вращается вокруг центра масс всей системы, но поскольку у Солнца большая часть массы, центр масс находится внутри Солнца. Кроме того, поскольку у Солнца много планет, вращающихся вокруг него, это вращательное движение в основном компенсируется. Это движение показано на видео выше, где красный плюс показывает центр масс.
Вселенная также содержит конфигурации, называемые двойной звездной системой, где две звезды вращаются друг вокруг друга. В этих системах два объекта имеют примерно одинаковую массу. Это означает, что центр масс находится примерно посередине. На видео, которое я показал выше, два объекта имеют почти идентичное движение, и центр масс лежит точно посередине. Это следует более типичному движению для системы двух тел, и движение каждого объекта формирует круг.
Решение задачи двух тел обычно сводится к знанию нескольких вещей. Самое важное - это соотношение масс между двумя объектами. Изменение этого приводит к различиям, показанным выше. Однако начальное движение объектов также может иметь большое влияние. Посмотрите на пример выше, где вместо следования по круговой орбите, каждый объект вместо этого прослеживает путь, ближе к эллипсу. Это может звучать знакомо; планеты нашей Солнечной системы следуют по эллиптическому пути, когда они вращаются вокруг Солнца.
Как бы ни была крута задача двух тел, она уже была решена. Кеплер нашел некоторые интересные свойства ее, используя астрономические данные. Используя методы, созданные Исааком Ньютоном в 1600-х годах, мы можем полностью смоделировать движение двух тел, вращающихся друг вокруг друга. Это послужило обобщением Законов Кеплера. Ньютон использовал свою недавно сформированную теорию исчисления для выполнения этого замечательного подвига. Как только это было определено, ученые подумали, что будет легко сделать то же самое для трех тел, и они, к сожалению, были очень неправы.
Как вы уже поняли, задача трех тел невозможна для аналитического решения. Это означает, что нет уравнения для описания движения трех объектов, вращающихся друг вокруг друга. Вместо этого ученые будут использовать различные численные трюки, чтобы получить приблизительные решения. Как оказалось, возможностей много! Я показал некоторые из них ниже. Это одно из моих любимых видео, оно завораживает!
Общий трюк - это упрощение постановки задачи и решение оттуда. Поскольку мы знаем, что общее решение невозможно, ученые делают предположения, а затем решают ее. Многие известные личности внесли работу в поиск дополнительных решений, такие как Эйлер, Лагранж и Пуанкаре. Например, Эйлер нашел точное решение для случая, когда две из трех масс неподвижны. Решение Лагранжа предполагает, что все три планеты образуют треугольник и вращаются вокруг центра.
Выше у меня есть три уравнения, используемые для постановки задачи трех тел. Они решают ускорение (r с двумя точками сверху) для каждого из трех объектов. Хотя это уравнения, они не считаются решением, поскольку они не говорят нам о положении каждого объекта в данный момент времени. Символ «G» дает гравитационную постоянную, определяющую силу гравитации. Эту проблему легко изменить, чтобы она представляла электромагнитную силу, если изменить эту постоянную.
Одно из важных отличий между задачей двух тел и задачей трех тел - это хаос. Если вы читали мои статьи раньше, то, возможно, знаете, о чем я говорю. Система считается хаотической, если она зависит от точных начальных условий. Это означает, что если три планеты начинают в немного разных позициях, то решение станет совершенно разным позже. Обратите внимание, что это отличается от того, что она неразрешима, есть некоторые системы, такие как система Лоренца, которая одновременно хаотична и разрешима.
На приведенном выше графике показаны два разных сценария для системы Лоренца в желтом и синем цветах. Два прогона сначала неотличимы, но быстро расходятся. Это классический пример хаотической системы. Задача трех тел точно такая же, начальная точка имеет значение. Из-за этого свойства задача трех тел еще более сложна для понимания. Мы продолжаем находить все больше и больше решений, но ясно, что требуется больше работы.
Наша Солнечная система гораздо сложнее, чем задача трех тел (Сделано с использованием imagenize) Еще более сложно Как бы сложна ни была задача трех тел, она даже близко не описывает нашу Солнечную систему. В ней много планет и десятки лун, все тянущие друг на друга силой гравитации. Нет никакого способа, чтобы стандартная классическая механика могла описать эту ситуацию, поэтому необходимо использовать численные приближения. Ученые называют эту проблему задачей n тел. Ее сложность впервые оценил Исаак Ньютон, когда изучал задачу трех тел.
Задача n тел имеет последствия для долгосрочного развития нашей Солнечной системы. В настоящее время неизвестно, стабильна ли наша Солнечная система или нет. Мы не знаем, будет ли в конечном итоге потеряна планета или ее орбита изменится драматически. Это все еще открытый вопрос, который ученые исследуют с помощью численного моделирования.
Задача n тел может быть расширена для представления целой галактики. Симуляции этой проблемы требуют сложных программных методов для упрощения вещей. Вероятно, наша математика никогда не сможет решить эту проблему, и всегда будут нужны компьютерные приближения.