Что объясняет последовательность Фибоначчи?

Одним из самых удивительных фактов о природном мире является то, что многие сущности в нем — как биологические, так и чисто физические — подчиняются определенному набору узоров и пропорций. Многие галактики демонстрируют спиральные формы и структуры, как и множество растительных структур: шишки, ананасы и головки подсолнечника среди них. Аммониты, моллюски в раковинах, вымершие более 60 миллионов лет назад, также показывают этот спиральный узор, где одной из ключевых особенностей спиралей является то, что следующий «виток» снаружи предыдущего демонстрирует определенное соотношение длины к размеру предыдущего, внутреннего витка.

Это соотношение, в любой такой структуре, часто очень близко к соотношению двух соседних чисел, найденных в последовательности Фибоначчи. Эта математическая последовательность, часто преподаваемая детям, начинается с чисел «0» и «1», а затем получает следующий член последовательности, складывая два предыдущих члена вместе. Это, возможно, самая известная математическая последовательность из всех, но что объясняет узор последовательности и действительно ли она неразрывно связана с природой? Вот что написало в Ragtag Media с вопросом:

«Существует ли последовательность Фибоначчи в отношении того, как развиваются галактики?»

Действительно, простой взгляд на «спиральные» структуры в галактиках может показаться похожим на Фибоначчи, но это настоящее, или просто наш ум создает лишние связи, где существует только кажущаяся связь?

Этот обзор MIRI, с JWST и сотрудничеством PHANGS, спиральной галактики NGC 1566 показывает нагретые, пыльные и ядерные особенности, которые полностью невидимы для других обсерваторий, наблюдающих в оптических/УФ и даже радиоволнах. Эта сеть пылевых филаментов повсеместна в спиралях, но сами спирали не следуют узору, который можно было бы ожидать от золотого сечения или последовательности Фибоначчи.

Галактические и другие физические спирали

Что касается спиралей, естественно встречающихся в чисто физических науках, «спиральные галактики» несомненно самые известные среди них. Где-то чуть больше половины всех известных больших, близких, массивных галактик имеют спиральные формы и структуры внутри себя, но когда мы исследуем их математически, оказывается, что очень мало из них демонстрируют узор, похожий на Фибоначчи.

Важно, что узор, похожий на Фибоначчи, называется «самоподобным», где если вы отдаляетесь и смотрите на это в больших масштабах, тот же структурный узор повторяется, когда вы приближаетесь к меньшим масштабам. Спиральные структуры, видимые в галактиках, не делают этого по двум отдельным причинам, так как:

1. Винты спиральных галактик редко тянуться вплоть до центра, а скорее заканчиваются асимметричным галактическим бугром или баром

2. Внешние части этих галактик — в которых звезды, газ и пыль в основном ограничены диском — лучше аппроксимируются кривой круга, чем любой «спиралирующей наружу» структурой.

Помните, что спиральные руки внутри галактики вызваны волнами плотности и тем, что галактика «завивается» со временем. Есть несколько заметных особенностей, которые существуют в некоторых спиральных галактиках и демонстрируют узор, похожий на Фибоначчи, над теми промежуточными регионами, но это не норма.

Хотя некоторые спиральные галактики великолепного дизайна могут иметь особенности, которые, кажется, следуют узору Фибоначчи, это не представляет большинство спиральных галактик, ни большинство особенностей даже внутри галактик, которые приблизительно подчиняются этому узору. Хотя последовательность Фибоначчи действительно появляется во многих местах надежно, спиральные галактики не входят в их число.

Те несколько спиралей, которые действительно показывают узор, похожий на Фибоначчи, являются частью класса спиралей, известных как Спиральные Галактики Великолепного Дизайна, и эти представляют только около 1 из 10 спиральных галактик, в отличие от наиболее распространенных типов со спиралями с множеством рук (включая Млечный Путь) и второго по распространенности типа с тонкой, многослойной спиральной структурой, известной как пушистые спиральные галактики. Эти спирали «великолепного дизайна» почти исключительно являются галактиками, которые недавно пережили или в настоящее время переживают гравитационное взаимодействие с близлежащей спутниковой галактикой, и это только это внешнее гравитационное воздействие притягивает самые дальние руки и особенности в формы, более согласующиеся с соотношениями, найденными в последовательности Фибоначчи.

Хотя многие спиральные формы возникают из чисто физических, небиологических процессов в природе — от водоворотов и вихрей, формирующихся в водоемах, до воздушных форм ураганных облаков и ясных дорожек — ни одна из этих спиралей не является похожей на Фибоначчи, когда речь идет о фактических математических деталях их структур на постоянной основе. Вы можете сделать «снимок», где одна или несколько особенностей демонстрируют соотношения, согласующиеся с соотношениями, найденными в последовательности Фибоначчи, на определенный момент, но эти структуры не выдерживают и не сохраняются. Узоры, похожие на Фибоначчи, видимые в спиральных галактиках, являются изобретениями наших глаз, а не физической правдой Вселенной.

Этот спутниковый снимок урагана Катрина кажется показывает спиральную структуру его облаков. Хотя может быть заманчиво сопоставить этот узор со спиралью Фибоначчи, ассоциация является спорной, так как ни этот, ни большинство ураганов не имеют спирального узора, подчиняющегося золотому сечению.

Биологические спирали Фибоначчи

Однако узоры и соотношения, похожие на Фибоначчи, найденные у многих биологических организмов, включая растения, действительно связаны с последовательностью Фибоначчи: как в математически строгом смысле, так и по эволюционной причине, которая имеет совершенный смысл. Давайте сначала рассмотрим биологические свойства, а затем вернемся к математике.

Биологически представьте, что вы растение: примитивное растение. У вас есть способность генерировать собственную энергию из солнечного света, питательных веществ почвы, воды и углекислого газа и производить сахара (накопленная энергия) через процесс фотосинтеза, происходящий в ваших листьях. Когда вы прорастаете из семени, вам нужно выставить листья, и где-то — заложено в вашем генетическом коде — будет информация, говорящая вам под каким углом выставлять ваш «следующий лист» относительно предыдущего.

Вы можете пойти по простому пути, который выбирает растение, например, клевер, и просто выставить три листа под углом 120° друг к другу: создавая треугольный узор. Проблема этого пути в том, что он эффективен, но не масштабируем. У нас нет гигантских деревьев клевера, потому что вы не можете «масштабировать» это: когда вы выставляете три листа под углами 120° относительно друг друга, нет места, куда можно было бы поместить «следующий» лист, который либо не будет очень эффективно блокирован предыдущими листьями, либо не будет эффективным блокиратором для предыдущих листьев, собирающих солнечный свет.

Расположение листьев на растениях может быть с одним листом на узле (чередующееся) или с двумя листьями на узле (окружное), с простым узором дистиха, встречающимся у бамбука, но более эффективным узором спирали Фибоначчи, следующим золотому сечению, появляющимся у многих растений, включая суккуленты, такие как алоэ.

Но что, если вы хотели закодировать самый эффективный способ выставления вашего «следующего листа», исходя из того, где вы поставили предыдущий лист? Конечно, для общего количества трех листьев, 120° математически идеально, но для произвольного количества листьев это не поможет. Представьте, что вы растение, растущее вверх, и вы только что выставили свой первый лист. По мере роста вверх и при выставлении второго листа под каким углом он должен выходить, чтобы не только первый и второй листья, но и третий, четвертый, пятый, шестой и так далее, все получали максимальное количество солнечного света, когда они все будут на месте?

Ответ заключается в том, что для каждого листа следующий лист должен выставляться примерно на 61,8% полного круга от предыдущего листа. Для круга с 360° это соответствует углу 222,5°, и точное число, которому соответствует это, математики определяют как –ψ, что равно (√5–1)/2, или приблизительно 0.61803398875. Положительная версия этого, (√5 + 1)/2, известна как φ, или золотое сечение, и является 1/(-ψ), что также равно 1 + (-ψ) также: соотношение между каждым числом Фибоначчи и его предшественником. Если вы продолжаете выставлять листья под этим ключевым углом, 222,5°, относительно предыдущего листа, вы окажетесь с узорами листьев, формирующими спираль Фибоначчи. То же самое математическое свойство, закодированное в ананасы, шишки и многое другое, объясняет, почему биологические организмы часто отображают числа, найденные в последовательности Фибоначчи.

Здесь показана материнская растение ромашки с полностью распустившимся цветком. Внутренняя часть цветка имеет множество компонентов, расположенных в узоре, прослеживаемом (вставка) синим и голубым в обоих направлениях, с 21 синей линией и 13 голубыми линиями. Оба эти числа являются последовательными числами Фибоначчи.

Математика Фибоначчи

Но большой вопрос не в том, «почему последовательность Фибоначчи найдена в природе», а скорее в том, «что определяет последовательность Фибоначчи» в первую очередь? Довольно легко рассчитать числа Фибоначчи; все, что вам нужно сделать, это начать с первых двух чисел: «0» и «1», чтобы начать, а затем сделать следующий член из предыдущих двух членов, объединенных вместе. Первые несколько членов последовательности Фибоначчи тогда будут:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 и т. д., где вы можете проверить, что каждый последующий член можно получить, глядя на два предыдущих члена.

Спираль Фибоначчи, показанная здесь, генерируется путем превращения каждого числа в последовательности в квадрат, затем генерации следующего числа, помещая соседний квадрат с длиной его стороны, определенной суммой двух предыдущих квадратов, в против часовой стрелке вокруг последних. Для больших чисел эти соотношения приближаются к значению, известному как золотое сечение.

Теперь давайте посмотрим на соотношения любых двух последовательных членов относительно друг друга и выясним, каково соотношение «следующего» члена к «предыдущему», начиная с двух «1» в последовательности (чтобы мы не оказались в ситуации деления на ноль).

1 ÷ 1 = 1,0,

2 ÷ 1 = 2,0,

3 ÷ 2 = 1,5,

5 ÷ 3 = 1,66666…,

8 ÷ 5 = 1,6,

13 ÷ 8 = 1,625,

21 ÷ 13 = 1,61538462…,

34 ÷ 21 = 1,61904762…,

и так далее. Как видите, члены колеблются между немного меньше φ, золотого сечения, и немного больше φ, но приближаются к нему, как сверху, так и снизу, по мере перехода к большим и большим членам.

Соотношение каждого члена в последовательности Фибоначчи к предыдущему члену быстро приближается к значению, известному как золотое сечение: сверху и снизу с каждым последующим членом. Приближение становится все лучше и лучше очень быстро, так что отклонение от истинного значения почти неразличимо глазом после того, как рассчитано всего несколько членов.

К тому времени, когда вы дойдете до очень больших членов, легко увидеть, насколько близко вы подходите к золотому сечению. Если мы посмотрим на последние три числа, написанные выше — 2584, 4181 и 6765 — вы можете видеть, что соотношения:

4181 ÷ 2584 = 1,61803405573, и

6765 ÷ 4181 = 1,61803396317,

очень быстро и очень близко приближаются к золотому сечению, φ, самому. Если мы поднимемся всего на несколько чисел выше, до 10946, 17711, 28657, 46368, а затем 75025 (последнее число Фибоначчи менее 100 000), мы обнаружим, что соотношение 75025 ÷ 46368 = 1,61803398896: оценка золотого сечения, которая отличается только тогда, когда вы расширяете до 11-го значащего знака.

Оказывается, нет ничего особенного в начальной точке последовательности Фибоначчи. Вы можете начать с любых двух неотрицательных чисел, которые вам нравятся, где по крайней мере одно из них не равно нулю: они не обязаны быть «0» и «1», они не обязаны быть целыми числами, они не обязаны быть близкими друг к другу. Все, что вам нужно сделать, это следовать той же формуле, где вы берете первые два числа и складываете их вместе, чтобы получить следующее (третье) число, а затем добавляете это число к предыдущему, чтобы получить следующее последующее число и так далее. Независимо от того, с какими числами вы начинаете, соотношение любых двух последовательных чисел быстро приближается к φ, золотому сечению.

Логарифмическая золотая спираль, также известная как спираль Фибоначчи, является самоподобным, самоповторяющимся узором, возникающим путем построения каждого последующего члена в последовательности путем суммирования двух предыдущих членов. Хотя это только приблизительно закодировано в природе, математическая связь, лежащая в основе этого, точна.

Генерирующая дробь Фибоначчи

Это заставляет задуматься: есть ли способ просто сгенерировать любые и все числа Фибоначчи, не прибегая к суммированию каждого из предыдущих членов, чтобы добраться туда? Оказывается, есть, и это невероятное математическое любопытство. Ключ, верите или нет, это 11-е число в последовательности Фибоначчи: 89.

Что такое особенное в числе 89? На первый взгляд, не так уж много. Два соотношения, в которых оно участвует, 89 ÷ 55 и 144 ÷ 89, не кажутся особенными: они равны 1,6181818… и 1,6179775… соответственно. Но если вы вместо этого возьмете совсем другое соотношение, числа 1 к числу 89, вы заметите нечто немного странное. Если вы напишете его как расширенную десятичную дробь, вы обнаружите, что первые несколько чисел последовательности Фибоначчи просто появляются и появляются по порядку.

1/89 = 0,011235955…,

в котором мы легко видим первые несколько узнаваемых чисел: 0, 1, 1, 2, 3 и 5. Вы можете посмотреть на «9» и подумать, что там что-то идет не так, но помните, что следующие два числа — 8 и 13, и поэтому мы вовлекаем некий вид «переноса», который может превратить то, что мы надеемся будет «8», в «9», если мы правильно делаем наше сложение. Затем мы можем использовать хитрый трюк, чтобы немного более широко проверить наличие узора Фибоначчи.

Первые восемь членов последовательности Фибоначчи (показаны члены с третьего по восьмой) получены путем суммирования каждого из двух предыдущих членов. Эта простая последовательность, названная в честь математика XIII века, но известная более 1000 лет назад, встречается в природе, но ее корни лежат в математике.

Вместо использования числа 89, давайте помним, что мы находимся в десятичной системе, и поэтому помогим себе, добавив «9» с обеих сторон этого числа 89, чтобы вместо этого создать дробь 1/9899. Когда мы расширяем это — до большего количества цифр на этот раз — вот что мы находим как его десятичное расширение:

1/9899 = 0,0001010203050813213455…,

и внезапно мы видим гораздо больше чисел Фибоначчи, появляющихся. Что, если мы попробуем добавить еще несколько 9 с обеих сторон? Например, 1/99989999? Теперь десятичное расширение становится:

1/99989999 = 0,00000001000100020003000500080013002100340055008901440233037706100987159725844181…,

и мы видим, что появляется все больше и больше членов, прежде чем мы столкнемся с «переносными» ошибками. Добавьте больше 9 с обеих сторон знаменателя, и у вас будет формула для генерации чисел Фибоначчи, по порядку, появляющихся в вашей дроби, насколько вы осмелитесь ее расширить. Вы можете просто считывать числа, и добавляя столько 9, сколько вам нравится, в равных количествах, с обеих сторон знаменателя дроби, десятичное расширение даст вам все числа Фибоначчи, гарантированно, с меньшим количеством цифр в нем, чем количество «9», которые вы поместили с обеих сторон знаменателя дроби.

Расширяя дробь 1/9999899999, где у вас четыре «9» с обеих сторон ключевого числа «89» в знаменателе, вы можете считывать первые 24 числа Фибоначчи по порядку, с каждыми 5 цифрами, пока проблема «переноса» не начнет загрязнять вашу последовательность.

Но все возвращается к «89» по глубокой причине. Представьте, что мы суммируем члены в последовательности Фибоначчи, деля каждый член на 10^(n+1), где n — номер этого члена. Другими словами, это означает, что наша аддитивная последовательность выглядит так:

0,0 + 0,01 + 0,001 + 0,0002 + 0,00003 + 0,000005 + 0,0000008 + 0,00000013 + 0,000000021 + 0,0000000034 + 0,00000000055 + 0,000000000089 + 0,0000000000144 + …,

и так далее. Теперь давайте сделаем небольшой математический трюк: умножим эту последовательность на 10, а затем вычтем из нее исходную последовательность (давая нам девять раз исходную последовательность). Это выглядит так (игнорируя первый член, который равен нулю):

0,1 + 0,01 + 0,002 + 0,0003 + 0,00005 + 0,000008 + 0,0000013 + 0,00000021 + 0,000000034 + 0,0000000055 + 0,00000000089 + 0,000000000144 + … — (0,01 + 0,001 + 0,0002 + 0,00003 + 0,000005 + 0,0000008 + 0,00000013 + 0,000000021 + 0,0000000034 + 0,00000000055 + 0,000000000089 + 0,0000000000144 + …),

который, если мы возьмем первый член отдельно, а затем сгруппируем каждый последующий член вместе, дает нам:

0,1 + (0 + 0,001 + 0,0001 + 0,00002 + 0,000003 + 0,0000005 + 0,00000008 + 0,000000013 + …), что говорит нам, что девять раз исходная последовательность равна 0,1 + одна десятая исходной последовательности!

Или, другими словами, что исходная последовательность, то есть сумма чисел в последовательности Фибоначчи, сортированных по десятичным разрядам, равна 0,1/8,9, или 1/89. И вот почему последовательность Фибоначчи не присуща природе, а скорее чистой математике. Она появляется в природе, потому что золотое сечение имеет биологическую пользу, но где бы оно ни появлялось в физических науках, включая в некоторых спиральных галактиках, это только чистая случайность!