Воображаемые числа стали бичом многих школьников на уроках математики. Они улавливают суть базовых уравнений и геометрии, даже когда появляются неизвестные переменные вроде x, они могут разобраться. Но потом учитель бросает им серьезный вызов в виде буквы i. Это значение не только загадочное и довольно путающее, но его еще и называют воображаемым! Кажется, что эти числа нарушают правила математики, которые были до этого, и их трудно понять. Плюс, зачем нам это знать, если это даже не реально?
Затем эти студенты узнают о некоторых полезных областях применения воображаемых чисел. Это интересно и определенно помогает решать проблемы, но большинство студентов уходят с мыслью о воображаемых числах, как о не более чем полезном инструменте, который не реален. Несмотря на это общее восприятие, воображаемые числа используются в широком спектре областей для важных расчетов. Но что они на самом деле такое?
В этой статье я собираюсь показать, что воображаемые числа так же реальны, как и любые другие числа. Я укажу некоторые области, где они полезны, и поговорю о том, что вообще означает быть "реальным" для числа. В идею воображаемых чисел встроено множество глубоких вопросов о математике и философии. Это большая тема, так что давайте начнем!
Основы
Определение воображаемого числа на самом деле очень простое, мы можем определить i следующим образом:
Существует множество комплексных чисел, и их можно записать в общем виде как a+bi. Технически, любое число, содержащее i, является воображаемым, и в этой общей форме оно становится комплексным числом. Это определение содержит все возможные воображаемые числа. Вы, возможно, помните из школьной математики, что у отрицательного числа нет квадратного корня. Однако это не так, если мы допускаем существование комплексных чисел. Например,
Признание этого случая открывает множество возможностей. Большой набор уравнений становится разрешимым, если мы допускаем существование i. Мы можем расширить эту идею еще дальше, создав плоскость комплексных чисел. Она состоит из двух осей, действительной и мнимой.
Даже действительные числа могут быть описаны на этой плоскости, они просто находятся только на оси x. Каждое воображаемое число существует как точка на этой двумерной плоскости.
Пример кубического многочлена Воображаемые числа имеют долгую и интересную историю. Впервые они были описаны в 1500-х годах, когда математик Джероламо Кардано пытался решить кубические уравнения. Он понял, что решить уравнение невозможно, не научившись работать со значениями, содержащими квадратный корень из отрицательного числа. Несмотря на необходимость их использования для решения многих уравнений, он описывал их как "такие же тонкие, как и бесполезные".
Это оставалось общим мнением среди математиков на протяжении веков. Некоторые использовали их для решения определенных проблем, но считали их неприятностью, которой следует избегать, когда это возможно. Это мнение укрепилось, когда в 1637 году Рене Декарт написал, что эти числа "иногда только воображаемые, то есть можно представить столько, сколько я сказал в каждом уравнении, но иногда не существует количества, которое соответствует тому, что мы представляем".
Например, представьте, что вы пытаетесь решить это уравнение.
Если бы у нас не было инструмента воображаемых чисел, это было бы невозможно. Однако с их существованием это становится довольно легко:
Тем не менее, несмотря на сомнения в их ценности, математики продолжали их использовать! Гаусс был первым математиком, который серьезно отнесся к ним и принял их как полезный и реальный инструмент. Как оказалось, воображаемые числа необходимы для математики описания волны. Используя всего одно число, мы можем получить как амплитуду, так и частоту одной волны. Так что любая область изучения, связанная с волнами, думайте физика и электротехника, в значительной степени зависит от воображаемых чисел для решения уравнений.
Но реальны ли они?
Мы видели некоторые применения комплексных/воображаемых чисел, но достаточно ли этого, чтобы сказать, что они реальны? Что вообще значит быть реальным для любого числа? Давайте начнем с самых основных типов чисел: натуральных чисел. Это первый тип чисел, с которым знакомится каждый, это просто список, который вы получите, считая от 1. Например, 2, 10 и 100 являются натуральными числами, но -10, 5/7 и 0 не являются.
Натуральные числа универсально приняты за реальные. Они существуют для описания размера набора объектов. Это чрезвычайно распространенная задача, которая может варьироваться от подсчета числа яблок в миске до населения страны.
Однако существуют и другие рамки, в которых мы думаем о числах. Например, мы можем расширить натуральные числа до всего набора целых чисел. Это включает в себя отрицательные числа, а также ноль. Этот набор несколько сложнее! Нет смысла говорить, что в миске содержится -2 яблока. Однако вы можете использовать целые числа для сравнения двух мисок. Вы могли бы сказать, что одна миска содержит на два яблока меньше (-2), чем другая.
Это различие может показаться не таким уж важным, но это только потому, что мы так привыкли к этому. Многие ранние математические тексты полностью отвергают концепцию отрицательных чисел, называя их абсурдными. Однако они медленно начали признаваться как полезный метод представления долгов. По мере того, как их практичность становилась лучше известна, математики начали использовать их чаще, и к 1800-м годам они были полностью приняты. Число ноль также долго принималось. Однако это не заняло столько времени, сколько отрицательные числа.
Это всего лишь две концепции чисел, которые мы все носим с собой, но есть и другие! Дроби представляют собой совершенно другую идею. Вместо сравнения размера наборов они могут рассматриваться как соотношение между двумя наборами. Это концепция, которая полностью отличается от натуральных чисел и целых чисел. Еще более отличными от дробей являются иррациональные числа, такие как пи и квадратный корень из 2.
В целом, мы обычно называем эти числа "действительными" числами. Несмотря на то, что это обозначение содержит четыре разные идеи того, что такое число. Действительные числа могут использоваться для описания непрерывного измерения, например, длины куска дерева. Все четыре эти определения стали для нас интуитивно понятными, и мы легко переключаемся между ними.
По определению, воображаемые числа не входят в класс действительных чисел, потому что они не содержатся в четырех типах чисел, описанных выше. Однако я бы утверждал, что они так же много являются частью реальности, как и предыдущие типы. У них много ясных и демонстрируемых применений и они следуют последовательному набору правил.
Выше изображенное показывает классификации, о которых я говорил, в визуальной форме и дает несколько примеров. Натуральные числа содержатся в целых числах, и оба эти типа содержатся в дробях (также называемых рациональными числами). Иррациональные числа отдельны, но все эти типы входят в действительные числа. Воображаемые числа отличаются от этой группы, но все они входят в класс, который я называю числами, принадлежащими реальности.
Возможно, эти числа просто страдают от маркетинговой проблемы с названием "воображаемые" и не включены в класс, называемый "действительными" числами.
Что вы думаете? Я бы хотел услышать ваши мысли в комментариях!