Всем привет, извиняюсь за небольшой перерыв. Сегодня такая задачка:
Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB отмечена точка K так, что CK || AE. Отрезки BE и CK пересекаются в точке O.
- Докажите, что KO = OC.
- Найдите отношение оснований BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 9/100 площади трапеции.
Для начала изобразим всё, что дано в условии:
Нам даны параллельные прямые, а значит хотелось бы найти подобные фигуры. Продлим AE, чтобы получить их:
Заметим, что получилось два равных треугольника (по стороне и двум углам):
А значит, и оставшиеся стороны в этих треугольниках равны:
Тогда BE — это медиана. Теперь найдем подобные треугольники (угол ABF общий):
Из этого следует, что и BO медиана, так как она лежит на медиане большего из подобных треугольников, что и требовалось доказать:
Рассмотрим второй пункт. Во первых, заметим, что трапеция ABCD и треугольник ABF равновелики:
А это дает нам отношение подобных треугольников, найдем коэффициент подобия:
Теперь мы знаем, как относятся стороны в этих треугольниках:
Остальное — дело техники:
Используя коэффициент подобия, запишем:
Преобразуем:
Получим ответ:
Для ЕГЭ достаточно легко и изящно! Оставайтесь с нашим радио, спасибо за внимание и удачи. Математики будет много!