Новые классы эволюционных уравнений дробного порядка с приложениями к задачам теории финансовых рынков изучает группа учёных-математиков ЧелГУ во главе с заведующим кафедрой математического анализа Владимиром Фёдоровым.
«В изучаемых нами уравнениях самое главное — «дробный порядок», — отметил Владимир Федоров. — Мы из школьной программы знаем, что такое производная: первая производная — это скорость, вторая — ускорение. А в наших уравнениях производная равна, например, ½. Обсуждение возможности определения таких производных начались ещё в XVII веке. В последние десятилетия, особенно в XXI веке, теория дробных производных стала очень популярна у исследователей по теоретической и прикладной математике».
В последние годы уравнениями с дробной производной описываются, например, модели распространения ковида и другие процессы из математической биологии, имеющие вид систем уравнений дробного порядка. Ещё в XX веке выяснилось, что уравнения с дробными производными очень удобно использовать при моделировании вязкоупругих сред: начиная от нефти с высоким содержанием парафинов и заканчивая хлебом и мороженым. Всё потому, что дробная производная учитывает память процесса, то есть его состояния в предыдущие моменты времени, а вязкоупругие среды характерны наличием такой памяти.
«Дробная производная — это интегро-дифференциальный оператор, который по своим свойствам имеет смысл производной промежуточного между целыми, дробного порядка, — поясняет Владимир Евгеньевич. — Несмотря на то, что физический смысл дробной производной так просто, как для производных целого порядка, не объяснить, некоторые учёные-физики уже написали целые монографии, где стандартные и новые разделы физики описываются в терминах уравнений с дробными производными».
Математики ЧелГУ обобщают теорию полугрупп операторов на случай уравнений дробного порядка, результаты научной школы «Теория дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и её приложения к начально-краевым задачам» имеют мировой уровень. Уравнения, которые обладают аналитическими в секторе разрешающими семействами операторов, учёные исследовали в процессе работы по гранту Президента РФ для поддержки ведущих научных школ, сейчас они перешли к исследованию более общих классов уравнений, обладающих сильно непрерывными разрешающими семействами операторов.
«У всех членов научного коллектива есть своё задание. Будем доказывать существование и единственность решения начальных задач для дифференциальных уравнений с различными дробными производными при определённых условиях на операторные коэффициенты в уравнениях, — говорит Владимир Фёдоров. — Вообще дифференциальные уравнения, даже обыкновенные, чаще всего не решаются в элементарных функциях. Более того, возникает вопрос: а вообще есть ли решение? В теории дифференциальных уравнений отдельный класс задач — установить разрешимость, а лучше однозначную разрешимость определённого класса задач для некоторого нового класса уравнений. Например, рассматриваются уравнения с начальными и/или краевыми условиями».
Помимо задач о доказательстве существования и единственности решения, участники проекта будут исследовать групповые свойства некоторых конкретных нелинейных уравнений дробного порядка, определять их группы симметрий. Это во многих случаях позволяет найти различные явные решения соответствующих уравнений, их законы сохранения. Третий аспект проекта — поиск численных решений. Для проверки численных методов полезно знать точные решения, которые будут найдены с помощью группового анализа.
«В последнее время дробное интегро-дифференциальное исчисление применяется сплошь и рядом в прикладных задачах, — комментирует Владимир Фёдоров. — Многие авторы моделируют ценообразование опционов с помощью уравнений дробного порядка. Мы знаем про описывающее цену опциона уравнение Блэка — Шоулза, за которое его авторы получили в своё время Нобелевскую премию. Сейчас с целью более точного моделирования процессов предлагается много альтернативных моделей типа Блэка — Шоулза, в том числе модели с дробными производными. У нашего коллектива есть опыт проведения работ по грантам и защиты диссертаций по тематике из области математической теории финансовых рынков».
Основными исполнителями проекта-победителя регионального конкурса грантов РНФ выступают профессор кафедры математического анализа Марина Плеханова и заведующий лабораторией финансового моделирования Михаил Дышаев. Кроме того, в работе участвуют семь молодых учёных из ЧелГУ, кандидатов наук и аспирантов.
Исследование получит поддержку фонда в размере 21 млн рублей в течение трёх лет.
