Утверждения и высказывания
С детских лет мы учимся отличать правду от лжи. Мы хотим иметь разумные представления об окружающем мире, а для этого надо пользоваться правдивой информацией. Однако иногда одного здравого смысла может не хватить для того, чтобы понять или объяснить, почему то или иное утверждение истинно или ложно. Нужны правила рассуждений, которые позволяют из верных утверждений получать другие верные утверждения. Всегда ли мы можем сказать, истинно утверждение или нет?
О каких из этих утверждений можно сказать, истинны они или нет?
1. «5 ∙ 5 = 25».
2. «Через точку на плоскости можно провести прямую, перпендикулярную другой прямой».
3. «Существует такое число b, что b + 1 = b - 1».
4. «Мы — молодцы!»
5. «28 мая 2017 года состоялся первый полёт российского самолёта МС-21».
6. «Утверждение, которое вы сейчас читаете, ложно».
Первые два утверждения истинны, а третье — ложно, и это не вызывает сомнений. Трудно что-то сказать про утверждение 4, но если уточнить, кто такие «мы» и кого следует считать молодцами, то можно будет решить, истинно это утверждение или нет. Утверждение 5 легко проверить. Оно истинно. Утверждение 6 внутренне противоречиво. Оно не может быть ни истинным, ни ложным: если оно истинно, то оно ложно. А если мы предположим, что оно ложно, то должны признать, что оно ложным не является.
Особую важную роль в математике играют утверждения, о которых можно определённо судить, истинны они или ложны. Такие утверждения называют высказываниями.
Высказывание — это утверждение, которое либо истинно, либо ложно.
Часто для доказательства истинности или ложности утверждения достаточно привести контрпример.
Контрпример — пример, противоречащий утверждению.
Чтобы опровергнуть (показать ложность) утверждения со словами «любой», «все», «каждый», «не существует» и другие необходимо привести контрпример.
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями, а какие — ложными?
1. «У всех кошек чёрная шерсть».
2. «Любая река впадает в море».
3. «Существуют медведи, живущие за Полярным кругом».
4. «Некоторые птицы живут в городе».
5. «Ни одна птица не живёт в городе».
Все эти утверждения содержат вспомогательные слова «любой», «все», «некоторые», «существует», «ни одно», которые влияют на смысл сказанного.
Слова «любой», «все», «каждый» и т. п. подразумевают, что нет исключений. Существует ли река, впадающая не в море? Да. Например, Ангара, которая впадает не в море, а в реку Енисей. С помощью примера мы показали, что утверждение 2 ложно. Такие опровергающие примеры называют контрпримерами.
Контрпример — пример, противоречащий утверждению.
Контрпримером к утверждению 1 служит кошка любого другого цвета, например рыжая.
Чтобы опровергнуть утверждение, содержащее вспомогательные слова «ни один», «никакой» или «не существует», тоже достаточно контрпримера.
Утверждение 5 тоже является ложным высказыванием. Чтобы это доказать, достаточно вспомнить, что на улицах городов есть голуби и воробьи.
Если утверждение содержит слова «существует», «какой-то», «некоторые», «хотя бы один», «найдётся» и т. п., то показать истинность этого утверждения можно с помощью примера.
Например, утверждение 3. «Существуют медведи, живущие за Полярным кругом» истинно, потому что белые медведи действительно живут за Полярным кругом. Утверждение 4. «Некоторые птицы живут в городе» тоже истинно.
Рассмотрим неравенство 25 + х < 38. Истинны или ложны утверждения?
а) «Любое значение х удовлетворяет этому неравенству».
б) «Ни одно значение х не удовлетворяет этому неравенству».
в) «Существует число, которое является решением этого неравенства».
г) «Некоторые числа являются решением этого неравенства».
Утверждения а) и б) ложны. Достаточно привести контрпримеры. Для утверждения а) контрпримером является, например, значение х = 13. В качестве контрпримера к утверждению б) можно взять значение х = 0. Утверждения в) и г) истинны. Чтобы это обосновать, достаточно привести примеры решений неравенства. Обратите внимание: в утверждении г) спрашивается про некоторые числа. Говоря слово «некоторые», мы имеем в виду, что достаточно одного.
Отрицание
Одно из умений, которыми нужно овладеть, — это умение строить отрицание к утверждению. Для простоты мы можем обозначать утверждения буквами.
Отрицание утверждения А — это такое утверждение В, что если А истинно, то В ложно, и наоборот, если А ложно, то В истинно.
Про отрицание утверждения А можно кратко сказать «не А» или «неверно, что А». Из двух утверждений А и «не А» одно и только одно может быть истинно. Если утверждение А истинно, то утверждение «не А» ложно, и наоборот.
Если в результате рассуждений получается, что одновременно верны и какое-то утверждение, и его отрицание, то в рассуждениях имеется логическая ошибка или сделано ошибочное предположение.
Будет ли утверждение «Это яблоко красное» отрицанием к утверждению «Это яблоко зелёное»?
Нет, ведь яблоко может быть жёлтым или полосатым, и тогда оба утверждения будут ложны. Правильное отрицание к утверждению «Это яблоко зелёное» — утверждение «Это яблоко не зелёное» или «Неверно, что это яблоко зелёное».
Очень интересно строятся отрицания к утверждениям со вспомогательными словами. Слово «любой» нужно заменить словом «существует», и наоборот.
Утверждение «У любого треугольника сумма внутренних углов равна 180°» является истинным высказыванием. Отрицанием будет высказывание «Существует треугольник, у которого сумма внутренних углов не равна 180°». Как мы понимаем, это утверждение ложно, поскольку такого треугольника не существует.
Построим отрицание к утверждению: «Для любого натурального числа n ≥ 2 существует простое число, которое заключено между числами n и 2n».
Сначала это утверждение было сформулировано в виде предположения (гипотезы), но в 1852 г. П. Л. Чебышёв доказал его, и теперь мы знаем, что это истинное высказывание.
Отрицание будет звучать следующим образом: «Существует натуральное число n > 2 такое, что любое число, заключённое между числами n и 2n, не является простым». Это утверждение является ложным высказыванием.