«Что такое логарифм?»
Логарифм числа b по основанию а (обозначается lоgа b) — это показатель степени, в которую необходимо возвести число а, чтобы получить число b.
Логарифм - это функция, которая показывает, сколько раз нужно умножить определенное число самого на себя, чтобы получить другое число. Например, логарифм 8 по основанию 2 равен 3, потому что 2^3 = 8. Логарифмы широко используются в математике, физике и других науках для упрощения расчетов и анализа данных.
«История появления »
В начале XVI века два ученых, не зная об исследованиях друг друга, опубликовали свои работы по изучению арифметических и геометрических прогрессий: В 1614 г. шотландский математик Джон Непер опубликовал книгу «Описание удивительной таблицы логарифмов». В 1620 г. из-под пера швейцарского ученого Иоста Бюрги вышел труд «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях». Кто-то может посмеяться и сказать: «Одновременно?! Да между книгами прошло 6 лет, и Бюрги украл идею Непера!». Но во времена, когда не было интернета и международных научных симпозиумов, а информация распространялась «голубиной почтой», 6 лет — не такой большой срок. А одновременное открытие логарифмов, в странах разделенных не только расстоянием, но и языковым барьером, как раз свидетельствует о важности этого открытия. Учитывая, что Джон Непер предложил придуманный им способ вычислений называть логарифм (от греческих слов logos – «отношение» и arithmos – «число», а вместе – «число отношений»), он по праву считается отцом логарифмов. Еще шотландский математик составил специальные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1 и с точностью до восьми знаков. С началом практического использования таблиц Непера умножение многозначных чисел и извлечение корней значительно упростилось.
«Использование логарифмов»
В статистической механике уравнение Больцмана (также известное как уравнение Больцмана-Планка ) представляет собой вероятностное уравнение, связывающее энтропию С S, также записанный какСБ Sв, идеального газа к кратности (обычно обозначаемой Ω ОмилиВт W), количество реальных микросостояний , соответствующих макросостоянию газа :
гдекБ Kв — постоянная Больцмана (также записываемая просток k) и равна 1,380649 × 10 −23 Дж/К, иИн —функция натурального логарифма .Короче говоря, формула Больцмана показывает взаимосвязь между энтропией и количеством способов расположения атомов или молекул определенного типа термодинамической системы.В статье Больцмана 1877 года он поясняет подсчет молекулярных состояний, чтобы определить число распределения состояний, вводя логарифм для упрощения уравнения.
«Музыка»
На протяжении многих столетий пифагорова комма античной гаммы не давала покоя композиторам и музыкантам. Ее распределение в музыкальной гамме было неравномерно и затрудняло модуляции (перевод мелодии из тональности в тональность). Изобретались разные музыкальные системы, которые пытались решить эту проблему. Нужен был особый подход, который должен был быть математически точным и музыкально приемлемым.
В начале 18 века, когда уже сложилась алгебра иррациональных величин, наметились пути решения этой старой многотрудной проблемы. Работы немецких музыкантов Веркмайстера и Нейгарда дали начало ее решению и привели впоследствии к созданию 12-звукового равномерно темперированного строя. В новом 12-ступенном строе октава стала состоять из 12 равных полутонов.
Следующим образом, стали определять зависимость между частотами звуков строя. Пусть х – величина, показывающая, во сколько раз частота верхнего звука больше частоты нижнего. Примем частоту самого нижнего звука октавы за 1. Известно, что частота верхнего звука октавы больше частоты ее нижнего звука в 2 раза, а при переходе к каждому их 12 полутонов частота увеличивается в х раз. Получаем уравнение. Полученное число называется коэффициентом темперированного строя. С его помощью мы нашли частоты каждого звука музыкальной гаммы. Как правило, музыканты настраивают свои инструменты по звучащему «ля» - 440 герц. Зная частоту звука «ля» и используя, можно получить все частоты звуков первой октавы фортепиано. Например, частота звука «ля-диез» равна 440 * 1,059 = 466,16 герц, а «соль-диез» - 440: 1,059 = 415,30 герц.
Итак, логарифмы отношений частот весьма точно совпадают с разделением октавы на интервалы, равные 1/12, которые соответствуют полутонам. Таким образом, два равных полутона стали почти точно составлять целый тон.
Использование логарифмической шкалы дает возможность равномерно распределить пифагорову комму по всему строю. Если разделить ее на 12 равных частей и распределить между 12 квинтами этого строя, то каждая квинта уменьшится на 1/108 тона. Это совсем незаметно на слух и вполне приемлемо для музыкальных созвучий.
С помощью 12-ступенной шкалы можно построить интервалы, которые наиболее распространены в музыке.
Существует еще более мелкая единица – цент, равный одной сотой темперированного полутона или 1/1200 октавы. Применение цента используется в музыкальных опытах, которые приводят к созданию все новых и совершенных музыкальных инструментов.
Физик, профессор Эйхенвальд пишет в своей статье (она была напечатана в «Русском астрономическом календаре» на 1919 год и озаглавлена «О больших и малых расстояниях»): «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с пренебрежением, что музыка и математика не имеют друг с другом ни чего общего. Правда Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь Пифагорова-то гамма и оказалась неприемлемой для нашей музыки. Представьте, как не приятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах…»
«Химия»
Для чего же нужны логарифмы в химии и как они применяются?
Думаю, все из нас неоднократно встречались с пометкой pH на моющих средствах. В химии эту пометку принято называть водородным показателем, с помощью которого определяется уровень кислотности среды. Водородным показателем pH принято называть отрицательный десятичный логарифм концентрации водородных ионов, выраженной в молях на литр.
Физиолог Альфред Лукьянович Ярбус открыл следующий факт. Наша сетчатка окаймлена полоской, которая генерирует один и тот же цвет – «светло-серый». Он назвал ее полоской «нуль - цвета». Именно в сравнении с «нуль - цветом» постигается всякий цвет. Сравнение осуществляется на границе поля зрения с периферийной полоской нуль - цвета так, как будто выполняется соответствующее математическое действие над двумя числами. Первое из которых число– сигнал, который характеризует степень возбуждения фоторецепторов сетчатки, второе – сигнал рецепторов периферии. Количественное сравнение таких чисел–сигналов осуществляется с помощью вычитания их логарифмов. Итак, два математических действия логарифмирование и вычитание вписались в модель физиологического восприятия человеческим глазом цветов радуги.
«Логарифмы и фракталы»
Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представленияесть.
Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.
«Логарифмическая спираль»
Логарифмическая спираль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе.
История.
Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis — «удивительная спираль». Декарт искал кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол. Он показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов.
Интересные факты.
Якоб Бернулли хотел, чтобы на его могиле была выгравирована логарифмическая спираль, но вместо этого по ошибке на его надгробие поместили архимедову спираль. Тем не менее, надпись на латыни, выгравированная согласно завещанию вокруг спирали, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), свидетельствует о том, что имеется в виду именно логарифмическая спираль, которая обладает замечательным свойством восстанавливать свою форму после различных преобразований.
Спираль в природе.
Живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях - взрослое существо и выше и толще детёныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или её некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития. По логарифмической спирали очерчены не только раковины - в подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали и т.д. Пауки, сплетая паутину, закручивают нить вокруг цента по логарифмической спирали. По логарифмической спирали закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.
Спасибо за прочтение!