Во время обучения в музыкальной школе я скоро заметил, что в музыке и в сочетаниях звуков есть много закономерностей, делающих музыку своего рода математической наукой. Теория музыки стала наиболее стройной в 16 веке нашей эры, когда был придуман равномерно темперированный строй, который сейчас преобладает, он состоит в том, что соседние полутона отличаются по частоте в 2^(1/12) раз.
Человек, когда слушает музыку, воспринимает спектр колебаний, а не мгновенные значения амплитуды колебаний. Вы поймёте, что взрослый мужчина и маленький ребенок напевают одну и ту же мелодию, несмотря на то, что они будут исполнять ее в абсолютно разном диапазоне частот. Важны только отношение между звуками, которые следуют друг за другом, и относительные длительности звуков. Можно начать исполнение произведения от разной начальной частоты и с разной длительностью первого звука, а все остальные частоты и длительности подстроить под первую ноту.
Ноты - звуки конкретной частоты. Принято, что нота ля первой октавы - это звук с частотой 440 Гц. Значит, ноты ля второй октавы - звук с частотой 880 Гц, а нота соль диез второй октавы - это звук с частотой 880/2^(1/12) Гц. И так дальше, от любой ноты можно отстроить любую другую ноту по формулам f2 = f1 * 2^(N/12) или f2 = f1 / 2^(N/12). Звуки, отличающиеся в кратное количество раз по частоте, наиболее созвучны, они оказываются в точном резонансе кратной частоты, поэтому звучат почти как один звук.
Стоит отметить, что не бывает абсолютно чистых звуков, да и не был бы красивым абсолютно чистый звук. Например, сигнал компьютера при ошибке подключения оперативной памяти - очень близкий к гармоническому звук, и он не очень уж красив:) Скрипка звучит по-своему из-за своего уникального резонатора, который создаёт множество своих звуков на дополнительных частотах, кроме основной частоты. На фортепиано тоже создаётся множество дополнительных звуков во многом благодаря деревянному резонатору, на котором располагаются все струны. Одна и та же нота, исполненная на скрипке и на пианино звучит по-разному, имеет разный окрас, говоря языком физики, имеет разное распределение частот в спектре при одинаковой основной гармонике.
Теперь ближе к красивым закономерностям, мы воспринимает некоторые пары звуков как резкие и несозвучные, а некоторые как благозвучные. Звуки, которые отличаются в 2^(1/12), 2^(2/12), 2^(6/12), 2^(10/12) и 2^(11/12) раз, являются диссонансами (интервалы малая секунда, большая секунда, тритон, малая септима, большая септима, соответственно), а те, что отличаются в 2^(3/12), 2^(4/12), 2^(5/12), 2^(7/12), 2^(8/12) и 2^(8/12) раз, соответственно, консонансами (малая терция, большая терция, кварта, квинта, малая секста, большая секста, соответственно). Привожу код программы, которая ищет, чем отличаются диссонансы и консонансы в смысле отношения частот:
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
int main () {
int distr1[12];
int distr2[12];
double maxerror = 1.0e-1;
bool found = false;
while (!found) {
maxerror *= 0.96;
for (int i=1;i<12;i++) {
double relation = pow(2.0, 1.0*i/12.0);
int bestj = 1;
int bestk = 1;
double besterror = fabs(relation-1.0)/relation;
for (int j=1; j<1000; j++) {
for (int k=1; k<1000; k++) {
double newrel = (1.0*j)/(1.0*k);
double newerr = fabs(relation-newrel)/relation;
if ((newerr<besterror)&&(besterror>maxerror)) {
besterror = newerr;
bestj = j;
bestk = k;
}
}
}
distr1[i] = bestj;
distr2[i] = bestk;
std::cout << i << ": " << bestj << " " << bestk << " " << besterror << "\n";
}
bool isfoundnow = true;
for (int i=1;i<12;i++) {
if (i==3) i++;
if (i==4) i++;
if (i==5) i++;
if (i==7) i++;
if (i==8) i++;
if (i==9) i++;
for (int k=3;k<7;k++) {
if (k==6) k++;
if ( (distr1[k]+distr2[k]) > (distr1[i]+distr2[i]) ) {
isfoundnow = false;
}
}
}
if (isfoundnow) {
found = true;
}
}
return 0;
}
Обнаружено, что диссонансам соответствуют обыкновенные дроби с большей суммой числитель+знаменатель. Диссонансы оказались ближе всего к отношениям 10/9 (малая секунда), 7/6 (большая секунда), 7/5 (тритон), 7/4 (малая септима) и 9/5 (большая септима). Консонансы же ближе всего к отношениям 5/4 (малая и большая терции), 4/3 (кварта), 3/2 (квинта) и 5/3 (малая и большая сексты). При этом так называемые совершенные консонансы ближе всего к отношениям 4/3 (кварта) и 3/2 (квинта), а несовершенные - к отношениям 5/4 (малая и большая терции) и 5/3 (малая и большая сексты). Другими словами, то, что мы слышим как хорошее созвучие, ближе к резонансу низкого порядка, а то, что мы слышим как резкое созвучие (сигнал автомобиля, например), ближе всего к резонансу более высокого порядка.
Музыка не звучала бы красиво без диссонансов или без консонансов, всегда происходит игра между резкими и благозвучными сочетаниями. Аккорды (более двух звуков) могут содеражить только консонансы, только диссонансы и могут быть смешанными. Чем больше диссонансов в аккорде, тем более "напряженно" он звучит. Музыка, которая сопровождает напряженный момент, например, в фильме, содержит много диссонансов, а консонансов много, когда все безопасно и красиво. В теории музыки есть правило, по которому аккорды могут следовать друг за другом только в определенном порядке (правила гармонии), по этому правилу за благозвучным аккордом всегда следуем менее благозвучный до тех пор, пока все не возвращается к начальному благозвучному аккорду. Это периодический процесс, по одному или другому пути благозвучные аккорды сменяются менее благозвучными, а потом опять звучит благозвучный. Композиторы, конечно, могут несколько отклоняться от этих правил, например, вернуться не в базовый благозвучный аккорд, а в какой-то промежуточный, но так или иначе красивая музыка обязательно содержит в себе эту постоянную игру.
Учитывая то, что музыка очень хорошо описывается математическими формулами, компьтер может легко выполнять транспонирование произведения (понижение или повышение всех звуков), искусственный интеллект может тоже придумывать интересные музыкальные произведения, если его архитектор прямо (сам формализовав все правила) или косвенно (дав "послушать" нейронной сети много произведений людей) обучит его.
Подписывайтесь и комментируйте, если интересен материал, пишите замечания, если имеются:)