Теорема: Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Доказательство: Пусть a||b, A — произвольная точка прямой a, AB⊥b, B∈b.
Нужно доказать, что расстояние от любой точки X прямой a до прямой b равно AB (то есть нужно доказать, что AB=XY).
Расстояние от точки X прямой a до прямой b равно длине перпендикуляра, опущенного из точки X на прямую b, в основании которого, стоит точка Y. Так как XY⊥a и a||b, то XY⊥b. Треугольники ABY и AXY равны по гипотенузе и острому углу (AY — общая гипотенуза, ∠1=∠2 как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей AY). Стороны AB и XY являются соответствующими сторонами равных треугольников, значит AB=XY, что и требовалось доказать.