То, что вектор - это направленный отрезок известно давно и всем. Конечно, это очень тяжело осознать (как отрезок может иметь направление и зачем???), но сегодня мы постараемся прояснить некоторые моменты.
1. Координаты вектора
Во-первых, начнем с того, что изобразим какой-нибудь вектор.
Вектор строится по двум точкам и может иметь направление как от A до В, так и от В до А. Такие векторы называются противоположными.
Существует бесконечное количество векторов с координатами (6;2) поэтому координаты вектора не позволяют определить его расположение в пространстве. Попробуйте сами придумать хотя бы 3 вектора с такими координатами. Исходные точки могут иметь даже отрицательные х и у.
Здесь мы смогли доказать противоположность векторов. Также нужно сказать, что вектор можно умножать на любое число и тогда каждая координата этого вектора умножится на это число. Если все координаты AB умножить на -1 то будет (-6;-2), а это уже вектор BA.
По формуле удобно считать, если в задании нет чертежа или точки имеют какие-то заоблачные координаты, изобразить которые будет проблематично.
2. Длина вектора
Как правило, длина вектора легче всего дается при изучении темы векторов, просто потому что перекликается с уже известной теоремой Пифагора.
3. Скалярное произведение векторов
Помимо скалярного произведения векторов существует еще и векторное произведение. Однако в рамках данного курса мы рассматривать его не будем (скорее всего).
Результат скального произведения служит для определения расположения векторов относительно друг друга. В рамках ЕГЭ, как правило, самая важная ситуация, это скаляр = 0. В дальнейшем узнаем почему.
4. Угол между векторами
Для нахождения косинуса угла между векторами, нужно уметь находить координаты векторов, длину и скалярное произведение. Собираем всё в дробь и вычисляем.
Здесь показан случай, когда косинус не табличный. Это очень полезное упражнение. Изображать этот угол на тригонометрическом круге не станем, так как это немного выводит нас за пределы темы. Угол-то найден. Небольшое замечание: для не табличного косинуса угол - это арккосинус этого значения.
5. Частные случаи взаимного расположения векторов
1) Косинус угла принимает табличные значения (1/2, √2/2, √3/2, -1/2, -√2/2, -√3/2) => перед нами какой-то из известных нами углов. Я намеренно в этом пункте опустила значения 0 и 1. О них подробнее далее.
2) Косинус равен нулю. Если при подсчете выяснилось, что косинус = 0, значит , векторы перпендикулярны. Это очень важное замечание, так как задача может быть наоборот: дано, что векторы перпендикулярны (или образуют угол 90 градусов) и тогда решающий сам должен указать и применить, что cosφ=0.
3) Косинус равен единице. В таком случае угол будет равен нулю => прямые, на которых лежат векторы, паралеллльны.
Небольшой бэкстейдж: стоило только отойти сделать кофе, как муж разрисовал заготовки к статье яблоками))
Спасибо за просмотр! Написание статьи заняло три дня, надеюсь было полезно! Ставьте лайки, подписывайтесь на канал:)