Константин Кольцов являлся воспитанником минской хоккейной школы «Юность», за которую выступал на всех уровнях. За взрослую команду спортсмен дебютировал в 16 лет, а в чемпионате России он впервые сыграл в 17 лет за «Северсталь». Помимо череповецкой команды 1998-го года, он провел по одному сезону еще в трех российских клубах: спортсмен также выступал за «Металлург», «Ак Барс» и «Спартак».
В 1999-м году Кольцов смог выступить за сборную Белоруссии на трех чемпионатах мира: он сыграл за юниорскую, молодежную и взрослую национальные команды.
В том же сезоне Кольцов был выбран «Питтсбург Пингвинз» в первом раунде драфта НХЛ под 18-м номером. Однако в команду он отправился в 2002-м году. Первую шайбу в НХЛ форвард забросил в выездной игре с «Чикаго». Всего в НХЛ он провел 144 матча, в которых набрал 38 очков, забросив 12 шайб и отдав 26 передач.
Также в составе сборной Белоруссии Кольцов участвовал в Олимпийских играх в Солт-Лейк-Сити (2002) и Ванкувере (2010).
В 2006 году нападающий вернулся в Россию, подписав контракт с«Салаватом Юлаевым».
Уже во втором сезоне выступления за уфимский клуб он стал чемпионом России, а в 2011-м стал обладателем Кубка Гагарина.
Последним клубом, за который Кольцов выступал в качестве хоккеиста, стало минское «Динамо». В декабре 2016 года 35-летний хоккеист объявил о завершении карьеры. Всего в КХЛ он провел 426 матчей и набрал 128 очков, забросив 49 шайб и отдав 79 передач.
С начала 2017-го года стал ассистентом главного тренера минского «Динамо».
В 2020-м году стало известно об отношениях тренера и именитой теннисистки Арины Соболенко. Спортсменка подверглась критике, поскольку Кольцов был старше на 17 лет и состоял в браке, в котором у него было три сына. Третий ребенок родился в 2019-м году. Сам Кольцов заявлял, что Соболенко не заслуживает обвинений и не имеет никакого отношения к проходившему в тот момент разводу с женой.
Позже пара перестала скрывать отношения. Соболенко стала посещать матчи минского «Динамо», на которых работал ассистент тренера, а Кольцов присутствовал на турнирах с участием теннисистки.
В июне 2021-го Кольцов, занимавший должность главного тренера клубе «Динамо-Молодечно» (в 2020–2021 годах), стал ассистентом тренера московского «Спартака».
С 2022-го Кольцов вошел в тренерский штаб «Салавата Юлаева». В текущем сезоне регулярного чемпионата «Салават Юлаев» занял третье место Восточной конференции, однако в первом раунде плей-офф вылетел от «Трактора» (2–4).
За день до смерти Кольцова известное хоккейное агентство Winners сообщило, что специалист планировал продолжить работу в другом клубе.
«Белорусский хоккей» в ночь на 19 марта сообщил, что Кольцов умер в Майами. Там на турнире категории WTA -1000, который проходит 19–31 марта, должна выступить Соболенко.