Я не взаправдашний математик, а физик, вулканолог и немного енот, использующий математику как инструмент. Но я этот свой инструмент очень люблю. Он красивый, изящный и мощный. Владение им делает меня счастливым и даже немного гордым от причастности к великим людям, создававшим его на протяжении столетий. Но при всем при том математика — инструмент, требующий особого к себе отношения. Она подобна породистой лошади или дорогому автомобилю, а то и легкомоторному самолёту. Без умения, особого подхода и, если хотите, уважения к себе они испортятся и гордость от владения ими сменится горечью утраты. Конечно, я утрирую, но что-то в этом есть. Я имею в виду, что с математикой можно играть, а не только использовать в серьёзной работе. Но в обоих случаях нужно как можно дольше оставаться настоящим математиком и ценить драгоценную точность и полноту результатов.
В конце концов я доигрался до целой книжки по теории вероятностей, некоторые главы из которой можно найти в этом блоге. В одной из глав, посвящённой дедлайнам и цейтнотам, мы встречаемся с не самым популярным распределением Стирлинга, о котором я подробно писал здесь.
Имитационное моделирование позволило мне получить выразительную и наглядную экспериментальную гистограмму, отражающую распределение числа последовательных дел, которые можно завершить в ограниченный срок. В принципе, на этом результате можно было бы и остановиться, гистограмма прекрасно иллюстрировала мои рассуждения, а поскольку моя книга, скорее развлекательная, а не учебная или научная, то зачем упираться с доказательством! Но, поверьте, я просто не смог этого сделать: отсутствие точного решения не давало мне покоя. Я готов был вообще выбросить этот эпизод из книги — и не потому, что не верил в точность результата, а потому что не считал это каким-то результатом. Я исписал множество листов, пытаясь вывести точную формулу, но ничего не выходило! Повторю, я не настоящий математик, у которого есть последовательное базовое математическое образование. Мне недоставало не инструментария или методик — я легко отыскивал их в учебниках и статьях. Но они заводили меня в дебри и тупики. Мне не хватало интуиции математика — той самой штуки, которая либо возникает от многих лет непрестанной работы, постоянного поиска внутренних связей и закономерностей, либо даётся от рождения, примерами чего могут быть такие потрясающие люди, как Сриниваса Рамануджан Айенгор или Карл Фридрих Гаусс. Но большинство великих, замечательных и просто видных математиков были вооружены не врождённым талантом, а любовью к этой науке, предельной честностью перед собой и, главное, невероятным трудолюбием, благодаря которым их математическая интуиция превращалась в самую настоящую магию! И я убеждён, что она доступна всем, но требует непрестанных упражнений: как говорили в моем родном Новосибирском государственном университете, «приседания мозгами». А силу для этих упражнений может дать только любовь. Ни чувство долга, ни страх провалить сессию, ни осознание полезности математики как инструмента не станут достаточной мотивацией для такой удивительно кропотливой, незаметной и чаще всего непрактичной работы.
Задачка из моей книжки вряд ли спасёт чьи-то жизни или принесёт мне славу и много денег, но без точного результата я чувствовал себя не вправе говорить о ней, поэтому я вновь и вновь выписывал столбцы известных мне точных значений функции вероятности, дополняя эмпирическими цифрами, приведёнными к рациональному виду (мне быстро стало ясно, что нормировкой искомой функции будет n!), пытаясь то угадать закономерность, то получить ее, подходя так или эдак. В конце концов решение пришло ко мне так же, как решения больших и чудовищно сложных задач приходят к настоящим математикам. Итогом моего пристального всматривания и вживания в ряды чисел стала искра интуиции. Блуждая уже практически бесцельно по страницам справочника комбинаторики, я наткнулся на числа Стирлинга, о существовании которых до этого и не подозревал. Они происходят из совсем другой задачи и поначалу вызвали просто любопытство. Хорошо, что в справочнике приводились некоторые примеры рядов этих чисел. Мой взгляд выхватил знакомые цифры, и после недолгих проверок мне уже было ясно: моё распределение выражается через числа Стирлинга настолько просто и лаконично, что это стало настоящей наградой! Решение нашлось и, более того, оказалось удивительно простым и красивым! Но, конечно, и этого было мало. Совпадения чисел недостаточно для утверждения о том, что решение найдено. Однако, зная, что искать, я смог строго свести рекуррентное соотношение для моего распределения к соотношению, определяющему числа Стирлинга, после чего задачу можно было счесть решённой.
Мне очевидно, что это достаточно скромный результат, а специалисту по комбинаторике он, скорее всего, покажется простым упражнением. Но я могу им гордиться. После долгих упорных усилий и из моей волшебной палочки вылетели наконец искры и пёрышко взлетело на пару сантиметров над столом! Это значит, что я действительно делал все верно и когда искал решение, и, главное, когда не допускал возможности публиковать простую эмпирику, претендуя на объяснение пусть даже шуточного эффекта. Я пишу эти строки не для того, чтобы похвастаться, а чтобы вдохновить тех, кто чувствует в себе настоящую любовь к математике, на долгий, кропотливый, но счастливый труд.
Метод пристального всматривания в расчёте на интуицию работает только тогда, когда к волшебной палочке прилагается аналитический аппарат, который позволит строго проверить результат «озарения». В известной книге «Физики шутят» приводился анекдот о том, как строятся рассуждения представителей различных специальностей.
— Взгляни на этого математика, — сказал логик. — Он замечает, что первые девяносто девять чисел меньше сотни, и отсюда с помощью того, что он называет индукцией, заключает, что любые числа меньше сотни.
— Физик верит, — сказал математик, — что 60 делится на все числа. Он замечает, что 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например 10, 20 и 30, взятых, как он говорит, наугад. Поскольку 60 делится на них, он считает экспериментальные данные достаточными.
— Да, но взгляни на инженера, — возразил физик. — Он подозревает, что все нечётные числа простые. Во всяком случае, 1 можно рассматривать как простое число, доказывает он. Затем идут 3, 5 и 7, все, несомненно, простые. Затем идёт 9 — досадный случай; по-видимому, 9 не является простым числом. Но 11 и 13, конечно, простые. Возвратимся к 9, — говорит он, — я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента.
Это забавно, конечно, но вот вам такой числовой ряд: 1, 2, 4, 8, 16, …Продолжите его. «Это же, очевидно, степени двойки! — воскликнете вы. — Следующим числом будет 32, а за ним 64 и т. д.». Но что, если я скажу вам, что следующим должно быть 31? И это не степени двойки, а значения вот такого выражения:
При n = 0, 1, 2, 3, … здесь под знаком суммы стоит биномиальный коэффициент. Первые тринадцать членов этого ряда выглядят так:
1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, …
Приведённое мною выражение даёт число областей, на которые разбивается круг, если расположить на его окружности n различных точек и соединить их каждую с каждой.
«Магическое число» 4 возникает в сумме биномиальных коэффициентов из того обстоятельства, что любым четырём из этих n точек на окружности соответствует одна точка внутри круга, в которой должны пересечься соединяющие их отрезки. Далее вывод строится на знаменитой формуле Эйлера, связывающей число узлов и ребер некоторого планарного графа с числом областей, на которые он разбивает конечную область (например, сферу). И эта простая и абсолютно понятная задача имеет столь коварную «подсказку»! Ведь на проверку даже первых пяти чисел уже должно уйти достаточно много времени, чтобы заключить, что число областей выражается степенью двойки. Ну а если упорство возобладает, то подсчёт областей при n = 6 неизбежно вызовет недоумение и поиск ошибки в подсчёте, ведь 31 так близко к 32 (попробуйте сами нарисовать и сосчитать эти области).
Забавно то, что десятый член ряда опять равен степени двойки. Понять, откуда эти степени взялись и почему ряд начинается столь многообещающе, поможет хорошо известный арифметический треугольник, или треугольник Паскаля. Его элементы — биномиальные коэффициенты, а сумма всех чисел каждого ряда в точности равна степени двойки (это обстоятельство используется для нормировки функции вероятности биномиального распределения).
Поскольку число областей, на которые разбивается круг, выражается суммой пяти первых биномиальных коэффициентов (на рисунке они выделены синим цветом), первые пять таких сумм содержат в себе полные ряды в треугольнике, однако начиная с шестого ряда суммирование идёт не по всем коэффициентам и последняя единичка в сумму не попадает. Отсюда и взялось «коварное» число 31. В десятом же ряду первые пять коэффициентов составляют ровно половину ряда, общая сумма которого равна степени двойки (2⁹), и, значит, половина тоже будет степенью двойки. Если где-то ещё они и встретятся, то это уже будет случайным совпадением.
Ричард Ги из Университета Калгари в 1988 году опубликовал статью, озаглавленную «Сильный закон малых чисел», в которой приводит и этот пример (с полным доказательством), и теорему, достойную иных законов подлости:
Просто посмотреть недостаточно.
В ней есть ещё более трёх десятков примеров последовательностей и «фактов», которые выглядят многообещающими, но никак не могут быть законами.
Мне очень понравился такой пример: при использовании знаменитого метода Евклида для доказательства бесконечности ряда простых чисел последние получаются не всегда. Здесь речь о том, что, предположив конечность ряда простых чисел, мы можем вычислить произведение всех членов этого ряда, увеличить его на единицу и получить число, превышающее все имеющиеся, но не делящееся ни на одно из них. Можно подумать, что произведение нескольких первых простых чисел, увеличенное на единицу, всегда порождает простое число, и убедиться в этом на нескольких примерах.
2 +1 = 3
(2 × 3) + 1 = 7
(2 × 3 × 5) + 1 = 31
(2 × 3 × 5 × 7 ) + 1 = 211
(2 × 3 × 5 × 7 ×11) + 1 = 2311
(2 × 3 × 5 × 7 ×11×13) + 1 = 30031 = 59 × 509.
Последний, да и последующие примеры дают осечку! Получается, доказательство Евклида неверно? Нет, оно совершенно справедливо, поскольку ничего не говорит о простоте результата, но утверждает существование числа, не делящегося ни на одно из полного (по нашему предположению) множества простых чисел. Число 30 031 и вправду не делится ни на одно из перемножаемых чисел.
Позже, в 1990 году, тот же Ричард Ги выпустил в свет ещё одну статью «Второй сильный закон малых чисел», в которой приводит с полсотни примеров последовательностей, ломающих интуицию математика!
Воспетая мной математическая интуиция без строгого доказательства может сыграть злую шутку. Более того, и в строгое, но очень сложное доказательство может вкрасться незаметная коварная ошибка, чему есть множество примеров. Обязательно прочтите чудесную книгу «Великая теорема Ферма» Саймона Сингха, чтобы почувствовать, с какими поистине циклопическими законами подлости приходится иметь дело в большой математике. Но удивительное дело: именно эти примеры и рассказы вдохновляют меня на добросовестный поиск математической истины там, где вполне хватило бы наблюдения или приблизительного результата.