Задача №162
Предложенное ниже уравнение необходимо решить в целых неотрицательных числах.
Внимательно рассмотрим левую часть уравнения:
Мы можем преобразовать эту часть как
Получаем уравнение
По условиям задачи, х и y – целые неотрицательные числа. В правой части у нас 2 в степени y. Это означает, что оба множителя в левой части уравнения – степени числа 2. То есть
и
где n и m – целые неотрицательные числа.
Равенство
преобразуем как
Подставим это значение х во второе равенство и получим
Применим формулу сокращенного умножения квадрата разности, а затем сократим обе части уравнения на 2:
Последнее равенство невозможно при m>1, так как в этом случае справа четное число, а слева – нечетное (при n≠0) или нецелое (при n=0).
Примечание: помним, что любое число в степени 0 равно единице.
При m=0 и m=1 получаем два решения:
и