Пьер де Ферма́ (1607 – 1665) – французский математик-самоучка, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел (это главная заслуга Ферма). По профессии юрист, советник парламента в Тулузе, блестящий полиглот и ... один из величайших математиков всех времён. Наиболее известен формулировкой в 1637 году Великой теоремы Ферма, «самой знаменитой математической загадки всех времён» [только через 357 лет (в 1994 году) теорема была доказана английским математиком Эндрю Уайлсом (родился в 1953 г.)].
В одном из своих писем к Маре́н Мерсе́нну Пьер Ферма высказал такую гипотезу: числа вида Fn = 2^(2^n) + 1 будут простыми числами (где n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … – бесконечный ряд натуральных чисел). Такие числа Fn потом стали называть числами Ферма. Гипотеза Ферма выполняется при n = 0, 1, 2, 3, 4, когда получаем пять простых чисел Ферма: Fn = 3, 5, 17, 257, 65537.
Гипотеза Ферма просуществовала более ста лет – до тех пор, пока в 1732 г. Леонард Эйлер не показал, что при n = 5 получаем не простое, а составное число F5 = 2^32 + 1 = 641×6700417 = 4 294 967 297. Все дальнейшие проверки чисел Ферма (вплоть до n = 32) также дали только составные числа. Поэтому у математиков возникло предположение, прямо противоположное исходному (гипотезе Ферма): а не конечно ли количество простых чисел среди чисел Ферма? Однако никаких даже хотя бы подходов к доказательству последнего предположения пока не существует.
Известны только достаточно общие свойства чисел Ферма, среди них интересна красивая теорема Гаусса – Ванцеля, о которой следует вкратце рассказать.
В 1796 году 19-ти летний Карл Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки (то есть возможности геометрического построения) правильного 17-угольника. Более того, Гаусс разрешил проблему построения правильных «N-угольников» до конца и нашёл критерий возможности построения правильного «N-угольника» с помощью циркуля и линейки: его можно построить, когда число его сторон имеет вид:
N = 2^n×P1×P2×P3×P4×P5× … Pi,
где n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … – натуральные числа, а Pi – различные простые числа Ферма, то есть числа 3, 5, 17, 257, 65537 и другие простые (разумеется, если они есть, что пока никак не доказано) в самых разных комбинациях («внутри» формулы Гаусса): любое одно (или любые два, три, четыре, пять, …) из них. После этого простые числа Ферма ещё стали называть гауссовы простые числа. И это открытие произвело на юного Гаусса столь сильное впечатление, что он сразу отказался от филологической карьеры (причем блестящей карьеры – так ему пророчили знающие известные люди того времени), и решил посвятить свою жизнь математике.
Карл Га́усс (1777 – 1855) – немецкий математик (а также: механик, физик, астроном и геодезист), он считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». При этом он и позднее смотрел на первое из своих открытий (см. его формулу N = ...) с особенной гордостью. После смерти Гаусса в Гёттингене была воздвигнута его бронзовая статуя, с пьедесталом в форме правильного 17-угольника.
В 1837 году известный французский математик Пьер Лора́н Ванце́ль (1814 – 1848) доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, не существует.
В части чисел Ферма ещё можно сказать следующее (из найденного самим автором данной статьи).
Поскольку в теории чисел N = 1 считают первым сверхсоставным числом (см. в Википедии), то и M = 1 можно считать первым метачислом (скажем, M = 1^1, так как иногда и единицу математики считают простым числом). При этом, вероятно, только 5-ть сверхсоставных чисел (N = 1, 2, 6, 60, 27720) являются копиями метачисел (М ~ ℮^P, порожденных старшим простым Р = 1, 2, 3, 5, 11, о метачислах автор много писал ранее, в том числе и на Дзене). Это напоминает нам ситуацию с 5-ю простыми числами Ферма (F = 3, 5, 17, 257, 65537): хотя ряд чисел Ферма бесконечен (как и ряд сверхсоставных чисел, и ряд метачисел), но, похоже, только первые 5-ть чисел Ферма являются простыми числами (а все прочие найденные математиками числа Ферма – это составные числа).
Автор не раз писал и о так называемых магических числах (см. статьи автора «Магия числа 5 ± 2», "Магия числа 7", и т.п., где много примеров), которые повсеместно обнаруживаются в природе (в том числе и в жизни человека, социума). Например, в ядерной физике известно 7 особых чисел (которые чисто по совпадению также называются физиками – «магические числа»). Вот и среди чисел Ферма (ряд которых бесконечен) есть, вероятно, только 5 гауссовых простых чисел, которые по своему количеству совпадают с 5-ю типами тел Федорова (см. в Википедии статью «Кристаллографическая группа»). Их в 1885 году нашел известный российский кристаллограф, минералог и математик Евграф Степанович Фёдоров (1853 – 1919). Тела Федорова – это выпуклые многогранники (например, куб), параллельными переносами которых можно заполнить пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой (к вопросу о связи структуры натуральных чисел со структурой дискретного пространства-времени, см. также вэб-ресурс "Архив теории чисел и физики", собранный английским математиком с 1995 года).
Идея автора данной статьи – восприятие числа Ферма (F), как некую тень родственного метачисла (F ~ М ~ ℮^P), вероятно, даёт новое направление для полёта нашей фантазии (хотя бы в рамках числофизики).
Также стоит упомянуть гипотезу автора о том, что по мере (чрезвычайно быстрого) роста числа Ферма (F) – количество всех его целых делителей устремляется к нормальному типу Тн ~ 2^lnlnF – столько делителей имеет большинство натуральных чисел на отрезке [1; F]. Об исследования автора подробно говорится в его статье «Тайны чисел Ферма» (на 17 страничках), опубликованной во ВКонтакте (в сообществе ЧИСЛОФИЗИКА-2).
Исследования, приведенные в указанной статье автора, разумеется, ни в коей мере не доказывают, что и при n > 32 простых чисел Ферма (Fn) больше не существует (кроме первых пяти: 3, 5, 17, 257, 65537). Однако, возможно, в данной статье показано некое (новое?) направление, которое можно уточнять и развивать на пути раскрытие немалых тайн чисел Ферма (некоторые из них затронуты в указанной статье).
13.03.2024, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2024