В данной статье разберем основные типы неравенства, которые встречаются на ОГЭ по математике в 2024 г.
Теория
Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором одна сторона имеет отличное от другой значение.
Для записи неравенств используют знаки > , < , ≥ , ≤ .
При этом “>” и “<” — это строгие знаки неравенства, а “≥” и “≤” — нестрогие знаки неравенства.
Их отличие в том, что нестрогие знаки неравенства включают граничные точки в итоговый промежуток, а строгие — нет.
Для правильного выполнения задания №13 нужно знать как решать:
1. Линейные неравенства.
2. Квадратные неравенства.
3. Рациональные неравенства.
4. Системы неравенств.
Начнем разбор с решения линейных неравенств.
1. Линейные неравенства.
Линейные неравенства — это неравенства вида:
ax + b < 0
ax + b > 0
ax + b ≥ 0
ax + b ≤ 0
Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.
Алгоритм решения:
1. Раскрыть все возможные скобки, если они присутствуют в неравенстве.
2. Перенести числа в одну сторону неравенства, а буквы в другую. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком.
2. Далее мы должны избавиться от числового коэффициента, стоящим перед буквой.
Для этого обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.
Либо
Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.
3. Отметить решение на координатном луче и записать ответ в виде промежутка.
Промежутки.
Далее разберем решение квадратных неравенств.
2. Квадратные неравенства.
Квадратное неравенство выглядит так:
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
1. Графический метод;
2. Метод интервалов.
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД.
1. Приводим квадратное неравенство к стандартному виду, т.е. все члены переносим в левую часть, а справа оставляем только ноль.
2. Приравниваем всю левую часть к нулю и получаем отдельное квадратное уравнение, в котором находим корни.
3. Отмечаем получившиеся корни на координатной прямой. Как раз эти корни принято называть нулями функции.
4. Рисуем на координатной прямой через нули функции параболу.
Помним, что если коэффициент параболы а > 0, то веточки параболы будут направлены наверх, если коэффициент параболы а < 0, то веточки параболы будут направлены вниз.
5. Отмечаем знаки промежутков.
6. Отмечаем промежуток в соответствии со знаком неравенства и записываем ответ. Обязательно помним про скобки, которые записываем в ответ!!!
Далее разберем практические задания из банка ФИПИ.
МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ.
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
1. Приводим квадратное неравенство к стандартному виду, т.е. все члены переносим в левую часть, а справа оставляем только ноль.
2. Приравниваем всю левую часть к нулю и получаем отдельное квадратное уравнение, в котором находим корни.
3. Отмечаем получившиеся корни на координатной прямой. Как раз эти корни принято называть нулями функции.
4. Отмечаем знаки промежутков.
Правило расстановки знаков промежутков по значению старшего коэффициента a:
1. если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,
2. если a < 0, последовательность знаков: −, +, −.
5. Отмечаем промежуток в соответствии со знаком неравенства и записываем ответ. Обязательно помним про скобки, которые записываем в ответ!!!
Далее разберем практические задания из банка ФИПИ.
Далее разберем решение рациональных неравенств.
3. Рациональные неравенства.
Рациональное неравенство — неравенство, левая и правая части которого являются дробно-рациональными функциями, то есть функциями, представимыми в виде отношения многочленов f(x) и g(x).
Рациональные неравенства чаще всего решаются методом интервалов.
Алгоритм решения рациональных неравенств:
1. Переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю, чтобы получить рациональное неравенство в стандартном виде.
2. Находим ОДЗ: для этого приравниваем знаменатель дроби к нулю. С помощью ОДЗ находим значения корней, которые обращают знаменатель в нуль. Потому что нужно помнить, что если знаменатель будет равен нулю, то дробь будет не действительной и на ноль делить нельзя.
3. Приравниваем к нулю числитель и находим корни получившегося уравнения.
4. Далее отмечаем нули числителя и знаменателя на координатной прямой. Нули знаменатели всегда будут отмечаться выколотыми точками. Тут тоже помним про обозначение точек(выколотые или закрашенные) в зависимости от знака неравенства.
5. Отмечаем знаки промежутков.
При переходе через точку знак меняется на противоположный, если точка является корнем нечетной степени кратности (т.е. встречается нечетное количество раз среди корней числителя и знаменателя); при переходе через точку четной кратности знак сохраняется.
6. Выделяем подходящие промежутки и записываем ответ.
Далее разберем практические задания из банка ФИПИ.
4. Системы неравенств.
Алгоритм:
1. Решим каждое неравенство отдельно и отметим на координатном луче подходящие промежутки.
2. Нарисуем еще один координатный луч и отметим общее решение всех неравенств из системы.
3. Запишем в ответ получившийся окончательный промежуток.
Далее разберем практические задания из банка ФИПИ.
На этом наш обзор задания № 13 подошел к концу. Подписывайтесь на мой канал , чтобы не пропускать новые полезные материалы. Поставьте лайк, если данная статья была полезна вам! До новых встреч, дорогие друзья!