Всем добрый день! Сегодня решим задачку с отборочного этапа олимпиады Ломоносов 2022/2023 года:
В задаче просят найти площадь выпуклого четырехугольника, образованного точками, являющимися решениями данной системы уравнений.
Для начала поработаем с первым уравнением:
Его можно решить, как квадратное уравнение от любой из двух переменных, но мне сразу в глаза бросилась группировка:
Вынесем общие множители за скобки:
И еще разок:
Итак, первое уравнение "распадается" на совокупность:
Поработаем со вторым уравнением:
Сразу бросается в глаза полный квадрат:
Соберем его:
И, опять совокупность:
Решая каждую пару уравнений (не буду утомлять вас выкладками), получим такие решения:
Зарисуем, что же у нас получилось — 4 прямых и их точки пересечения:
Нам нужна площадь фигуры ABCD. И на первый взгляд — это прямоугольник. Докажем это следующим образом. Запишем вектора AB и BC:
Найдем скалярное произведение данных векторов:
Скалярное произведение ноль, а следовательно угол между ними прямой:
Таким образом, получили прямоугольник (почему AD и BC параллельны думаю пояснять не нужно):
Найдем площадь прямоугольника. Для этого посчитаем длины векторов:
Ну а площадь прямоугольника легко найти как произведение сторон:
Вот и вся задача! Спасибо, что дочитали до конца. Надеюсь, вам понравилось. Ставьте лайки и подписывайтесь на канал — математики будет много!