"Геометрия. 7—9 классы". Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. 2023г.
Глава V. Четырёхугольники.
№513. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена биссектриса. Из точки пересечения биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что четырёхугольник, образованный этими прямыми и катетами, является квадратом.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/d/X6tTkvEgfq_Qqg
Видео https://rutube.ru/video/7e129005b2a8a72dabdb5c25d259a370/
№521. Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, АВ=14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/d/MbFhIAWNQh-PQg
Видео https://rutube.ru/video/9666aec62cd94a69bd6c647a512c47e6/
№522. Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/VnK3hM9WnZABhQ
Видео https://rutube.ru/video/cd9d2290951e856ad41c26dc1eb3cd17/
№523. Подобная задача. Математика ОГЭ, тренировочные варианты. Мирошин В.В. 30 вариантов. 2024г. Вариант 22, №24.
Из произвольной точки М основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что периметр получившегося параллелограмма не зависит от выбора точки М.
№523. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.
Надо обосновать, что в задаче из учебника: четырёхугольник - параллелограмм, (по определению)
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/wTMK4L5CM_d4VQ
Видео https://rutube.ru/video/9c214e7174e924270f1906e4a855e3df/
№524. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/iShh7lEicu5XRQ
Видео https://rutube.ru/video/a0511a77bb5c985f29f19cbd56754e97/
№525. Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/N6BIbgjiVRVEzQ
Видео https://rutube.ru/video/e0c921d4f31fcfccb37b02ba8cc5b7b8/
№526. Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы равны.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/dki6-HgOH727_g
Видео https://rutube.ru/video/21c6da65ef1c3672204dc89182957953/
№527. Точка К – середина медианы AM треугольника ABC. Прямая ВК пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что AD=⅓АС.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/gtfkS3ePCLfZog
Видео https://rutube.ru/video/dfaa529d2820a79138edfd813613d0d9/
№528. Точки M и N – середины сторон АD и ВС параллелограмма АВСD. Докажите, что прямые АN и MC делят диагональ ВD на три равные части.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/R8Z5VirB3iDb9Q
Видео https://rutube.ru/video/3f52dc5b2be62e44bd2def78e9d3e9d6/
№529. Из вершины В ромба АВСD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч ВD является биссектрисой угла КВМ.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/rXk5S5khwt_0Bg
Видео https://rutube.ru/video/1d3ab0d8b47fa2d2625f0ac1ac8f7f4f/
№530. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/eUZegRFlpo6PaA
Видео https://rutube.ru/video/44eddf3553cb931fd623f80dc3b63283/
№531. Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/rm7K5p-UZozuGw
Видео https://rutube.ru/video/f14b00ccaafb9f95cd235d2783051f9a/
Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
🔎 Презентация https://disk.yandex.ru/i/rxyBhxmwJgCCBA
Видео https://rutube.ru/video/8340e5840360f6533606cf9d22fd7d67/
№532. Диагональ АС квадрата АВСD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и СD соответственно в точках М и N. Найдите MN. (3 способа решения)
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/RsVcZgmTWak0fg
Видео https://rutube.ru/video/756c6310dda8e70b674a1355b1970fd3/
№533. На диагонали АС квадрата ABCD взята точка М так, что AM=АВ. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная к прямой АС и пересекающая ВС в точке Н. Докажите, что ВН=НМ=МС.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/ZLjNqa9uT0IsLg
Видео https://rutube.ru/video/f561c907185b512f9e9952766fef0bc6/
№534. В трапеции АВСD с большим основанием АD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне СD, ∠ВАС=∠САD. Найдите АD, если периметр трапеции раен 20 см, а ∠D=60⁰.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/VeZyijem9-PDbw
Видео https://rutube.ru/video/28ab5b2da23d368c471ed7e50653078f/
№535*. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90⁰. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции равен их полуразности.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/FJ1oB70xVc8-fA
Видео https://rutube.ru/video/020ffed092e96d13177ee732d98596e8/?r=wd
№536*. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/WSIR9Q-Bunz7tw
Видео https://rutube.ru/video/bd7b715a1ce37451b869c52f6fb70095/
Глава VI. Площадь.
№605. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведенной к гипотенузе.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/bLwfmLr_ArPlVw
Видео https://rutube.ru/video/8cafc6b07131a0f8107f8ad7703adc02/
№606. Площадь земельного участка равна 27 га. Выразите площадь этого же участка: а) в квадратных метрах; б) в квадратных километрах.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/mcOZU-zZleprcQ
№607. Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр равен 42 см. Найдите площадь параллелограмма.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/bSRzAVBusTiYFg
Видео https://rutube.ru/video/193610b9b99d7d550bb1c00abe3bf8b7/
Две задачи
№572. Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой. (Свойство медианы треугольника)
№608. Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 24 см², а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на 2 см и 3 см. (Два способа решения задачи)
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/GPextflXaRma6w
Видео https://rutube.ru/video/92d89c3038a95d65f608f0718cfd9d8e/
№609. Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит ее на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/hiReO8v46jgCUA
Видео https://rutube.ru/video/aab373872487e4fedb2922961b86b78d/
№610. Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна a, а другая — b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.
🔎Презентация
Видео
№611. Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы разделить его на три фигуры, площади которых равны?
🔎Презентация
Видео
№612*. Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?
🔎Презентация
Видео
№613*. Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/Hnkp93s3i46yKw
Видео https://rutube.ru/video/263dbb37a530a62f7932ae2381760cae/
№614. Докажите, что сумма длин перпендикуляров, опущенных из любой точки М, лежащей внутри равностороннего треугольника АВС, на стороны этого треугольника, не зависит от выбора точки М.
🔎Презентация https://disk.yandex.ru/i/sszUM5Q8VORazQ
Видео https://rutube.ru/video/441d1cd271093a2fa70d7ff47e58d7fd/
№615*. Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника ABC, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точках Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF имеют равные площади.
🔎Презентация
Видео
№616. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD диагонали пересекаются в точке О. а) Сравните площади треугольников ABD и ACD. б) Сравните площади треугольников АВО и СDO. в) Докажите, что выполняется равенство ОА⋅ОВ = ОС⋅OD.
🔎Презентация
Видео
№617. Основания трапеции равны а и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две трапеции, площади которых равны. Найдите длину этого отрезка.
🔎Презентация
Видео
№618. Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.
🔎Презентация
Видео
№619. Площадь ромба равна 540 см², а одна из его диагоналей равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба
🔎Презентация
Видео
Занимательная геометрия
Повторяем: теорему Фалеса, построение параллельных прямых с помощью угольника, построение середины отрезка с помощью циркуля.
Задача. Дан треугольник АВС, вершина С которого не помещается на чертеже. Провести медианы из вершин А и В этого треугольника.
Презентация https://disk.yandex.ru/d/7uonpz7XuTuynA
Видео https://rutube.ru/video/3339d63ab48d6577385b3dca84366efc/