Сегодня мы рассмотрим задание 17 из ОГЭ по математике, включающее блок задач с параллелограммом и его частными случаями: ромбом, прямоугольником и квадратом. Если вас интересуют также задания с трапецией, вы можете ознакомиться с моим видео на YouTube-канале, где я подробно разбираю все типы таких задач.
Ссылка на видео с трапецией из задания 17 ОГЭ: https://youtu.be/m7GRCRCnx8U?si=Ybr0u2PsBLtRI32x
Задачи с параллелограммом можно разделить на два основных типа:
- Задачи, направленные на понимание свойств параллелограмма и его частных случаев.
- Задачи на нахождение площади параллелограмма и его частных случаев.
I тип задач. Задачи, направленные на свойства параллелограмма и его частных случаев.
Давайте начнем с основных понятий, чтобы не запутаться в трактовке исходных данных:
Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Диагонали параллелограмма - это отрезки, соединяющие противоположные вершины. Высота параллелограмма - это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны параллелограмма на прямую, содержащую противоположную сторону.
Свойства параллелограмма, которые необходимо усвоить для решения задания 17 ОГЭ:
- Противоположные стороны равны: АВ= СД и ВС=АД
- Противоположные углы параллелограмма равны: ∠ВАС= ∠ДСВ и ∠АВС= ∠СДА
- Диагонали делятся пополам: ВО=ОД и АО=ОС
- Сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180 градусам: ∠А+∠Д=180 градусам
Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые. К свойствам прямоугольника добавляются свойства параллелограмма и еще некоторые:
- Диагонали прямоугольника равны: АС= ВД
- Диагонали прямоугольника делятся пополам, образуя 4 равных отрезка: АО= ОС=ВО=ОД
- Стороны прямоугольника являются его высотами.
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. К свойствам ромба относятся все свойства параллелограмма и прямоугольника, а также:
- Диагонали ромба делятся пополам: АО= ОС=ВО=ОД
- Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: ВД и АС - биссектрисы
- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Примеры
Теперь давайте приступим к решению заданий 17 из ОГЭ, опираясь на изученную теорию.
Задание №17 Вариант №5. Найдите тупой угол параллелограмма АВСД, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол, равный 380. Ответ дайте в градусах.
Решение: Вспомним, что в параллелограмме сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180 градусам. Следовательно, чтобы найти тупой угол, нам необходимо вычислить угол А. Зная, что в условии задачи говорится о биссектрисе, следовательно, угол А = 38° + 38° = 76°. Учитывая градусную меру, видим, что этот угол острый. Тогда тупой угол В можно найти из свойств параллелограмма, где сумма углов равна 180°: угол В = 180° - 76° = 104°. Это наш ответ.
Задание №17 Вариант №21. Диагонали АС и ВД прямоугольника АВСД пересекаются в точке О, ВО=37, АВ = 56. Найдите АС.
Решение: Вспомним свойства прямоугольника: диагонали прямоугольника равны и при пересечении делятся пополам. Тогда ВО = ОД = 37. Следовательно, ВД = 37 + 37 = 74. Так как ВД = АС, то АС = 74. В этой задаче нас пытались запутать, дав нам дополнительное значение для стороны АВ, но, как видите, оно нам не пригодилось. Не пугайтесь таких задачек!
Задание №17 Вариант №31. Диагонали прямоугольника образуют угол 47° с одной из его сторон. Найдите тупой угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение: Не указано, относительно какой стороны образовался угол, поэтому это может быть любая сторона. Допустим, что это сторона АД. У прямоугольника все углы тупые, поэтому угол ОАД = углу АДО = 47°. Теперь обратим внимание на угол АОД в треугольнике и найдем его, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Угол АОД = 180° - 47° - 47° = 86°. Однако это не тупой угол, а острый. Тогда тупой угол будет угол ВОА, который легко найти: 180° - 86° = 94°. Это наш ответ.
II тип задач. Задачи на нахождение площади параллелограмма и его частных случаев
Теперь давайте разберемся с вторым типом задач. Второй тип задач связан с нахождением площади параллелограмма и его частных случаев: ромба, прямоугольника и даже квадрата.
Давайте начнем с самого простого – это площадь квадрата. Квадрат часто называют правильным четырехугольником, потому что его углы и стороны равны. Давайте разберемся, какие формулы помогут найти его площадь, чтобы решать задачи быстро и легко.
1. Первая формула, которую проходят в 3 классе, это то, что площадь равна стороне квадрата в квадрате.
2. Если в задачах у нас есть в исходных значениях диагональ, то площадь квадрата можно найти по формуле: расстояние диагонали в квадрате разделенное на 2.
3. Если нам известен периметр, то площадь возможно найти по формуле: значение периметра в квадрате разделенное на 16.
Пример расчета площади квадрата
Задание №17 Вариант №3. Периметр квадрата равен 32. Найдите площадь этого квадрата.
Решение: Используем простую формулу, рассмотренную ранее. Если периметр равен 32, то S = (32*32)/16 = 2*32 = 64 . В таких задачах обращайте внимание на то, чтобы единицы измерения были одинаковыми. Если периметр задан в сантиметрах, а площадь в квадратных метрах, то в начале необходимо привести все к одной единице измерения. Будьте внимательны!
Далее рассмотрим как искать площадь параллелограмма.
Площадь параллелограмма можно найти тремя способами:
1. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне
2. Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон на синус угла между ними
3. Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними
Примеры
Задание №17 Вариант№13. Площадь параллелограмма равна 60, а две его стороны равны 4 и 20. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
Решение: Пусть сторона АД=20, а сторона ДС=4. Помним, что площадь параллелограмма можно выразить через высоту и сторону. Тогда просто выразим высоты, проведенные к каждой из сторон. Высота, проведенная к стороне АД, будет равна: Hад=60/20=3, а высота к стороне СД будет равна: Hсд = 60/4 =15. В вопросе спрашивается про наибольшую высоту, значит в ответ мы запишем значение 15.
Задание №17 Вариант №23. Две стороны параллелограмма равны 6 и 17, один из углов этого параллелограмма равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.
Решение: Первое, что мы сделаем - отметим исходные данные. Угол у нас дан острый, а следовательно это либо угол А либо угол С, но так они равны, выберем любой. Для наглядности возьмем угол А равный 30 градусам. Вспомним формулу площади, которую можно выразить через стороны и угол. В этой задаче нам стоит вспомнить лишь чему равен синус 30-это ½. Теперь все исходные данные у нас имеются 2 стороны и синус угла между ними, следовательно: S=1/2*6*17=51.
Задание №17 Вариант №33. Диагонали параллелограмма равны 7 и 24, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.
Решение: Вспоминаем формулу для расчета площади параллелограмма через диагонали – это произведение диагоналей на синус угла между ними и все это произведение пополам. Диагонали известны, угол известен, находим синус и считаем: S = (7*24*1/2)/2 = 42.
Задание №17 Вариант №35. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.
Решение: На рисунке сразу обращаем внимание на исходные данные – это высота и стороны. Следовательно, площадь можем выразить, через уже известную нам формулу через высоту и сторону. Главное тут вспомнить, что умножаем на сторону к которой опущена высота, а это сторона АД. АД легко найдем: АД = 5+3=8. Высота известна, тогда площадь равна: S = 8*12=96. Вот и все, другие данные нам даны, чтобы нас запутать!
Рассмотрим нахождение площади для ромба. Формулы аналогичны формулам для параллелограмма, но учитывая условия равенства сторон, они будут немного видоизменены.
1. Площадь ромба - это произведение стороны на высоту. В этом случае, стороны все равны, поэтому какая именно будет сторона неважно.
2. Площадь ромба – это произведение сторон на синус угла между ними, если стороны равны, тогда в формуле можем записать квадрат стороны на синус угла.
3. Площадь ромба равна половина произведения диагоналей.
Примеры
Задание №17 Вариант №18. Сторона ромба равна 12, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 2. Найдите площадь этого ромба.
Решение: Чтобы найти площадь ромба, мы можем воспользоваться формулой произведения стороны на высоту. Сторона ромба нам известна, а высоту легко найти. Диагонали ромба делят его на 4 равные прямоугольные треугольника, а точка их пересечения является его центром. Следовательно, высота, проведенная к противоположной стороне ромба, также равна 2, и весь перпендикуляр будет являться высотой ромба h = 2 + 2 = 4. Теперь находим площадь: S = 12 * 4 = 48.
Задание №17 Вариант №17. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 10 и 6.
Решение: Вспоминаем формулу площади, выраженную через диагонали ромба. Для ромба площадь равна половине произведения диагоналей. Тогда S = (10 * 6) / 2 = 30.
"Если вам была полезна такая информация, то я приглашаю вас также посмотреть видеоразбор на моем YouTube канале: https://youtu.be/4HTGdQhg7_s?si=_zf46kBlC5LScBCF. В видео я более подробно объясняю решение заданий 17 в ОГЭ.
Не забудьте поддержать мой канал лайками и подпиской для получения еще больше полезного контента! Спасибо за внимание и удачи в вашей подготовке к экзаменам!"