Дано выражение
Вопрос: делится ли данное выражение на 5 (без получения дробной части) при любом натуральном «а»?
Для ответа на вопрос, разложим выражение на множители:
Пусть b – остаток от деления «а» на 5.
Число b принимает одно из следующих пяти значений:
0, 1, 2, 3, 4
Если b=0, то а делится на 5.
Если b=1, то (а – 1) делится на 5.
Если b=4, то (а + 1) делится на 5.
Если b=2 илиb=3, то (а² + 1) делится на 5.
То есть, при любом b один из множителей а(а – 1)*(а + 1)*(а² + 1) делится на 5.
Это значит, что (а⁵ – а) делится на 5.