Задача №155
Представьте, что вам необходимо выписать на длинной полоске бумаги все натуральные числа
Не будем писать все число (слишком долго), а только напишем несколько цифр из его начала и конца:
А теперь вычислите сумму цифр этого числа.
Попытайтесь сделать все вычисления устно (в уме) и как можно быстрее.
Для решения этой задачи необходимо вспомнить способ Иога́нна Карла Фри́дриха Га́усса[1], для вычисления суммы всех натуральных чисел от 1 до 100 (смотри задачу №120 и ответ к ней, пример №5 к задаче №144 и ответ к нему).
Если разбить все использованные для написания нашего числа-великана натуральные числа от 1 до 99999 на пары, сопоставив с каждым числом «х» число «99999 – х», то мы получим 49999 пар, плюс одно непарное число 99999. Это число можно представить как пару для нуля.
Итого мы получаем 50000 пар.
Сумма всех цифр для двух чисел в каждой паре равна
9+9+9+9+9, то есть
Используя способ Гаусса, умножим сумму цифр в паре на число пар:
Сумма цифр нашего числа:
[1] Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (30 апреля 1777 – 23 февраля 1855) – немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Величайший математик всех времён, «король математиков».