1. Золотая пропорция.
Золотая пропорция известна людям с древнейших времён. Она применялась при строительстве многих замечательных произведений мирового зодчества, её использовали знаменитые скульпторы и художники. Утверждается, что древние египтяне также знали эту пропорцию и применяли её при возведении пирамид. Золотая пропорция ассоциируется с чем-то очень привлекательным, гармоничным, идеальным.
Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей: с /b = b /а (рис. 1).
Числовому значению отношения присвоена буква φ (Фи) в честь великого древнегреческого скульптора Фидия, который использовал знание этого числа при создании своих скульптур: с /b = b/а = φ; с = а + b; с = b · φ; b · φ = а + b; φ = а/b + 1; а/b =1/φ; φ = 1/φ + 1; φ – 1/φ = 1 или b/а – а/ b = 1.
То есть если разность между отношением большей части отрезка к меньшей его части и отношением меньшей части к большей части равна единице, то такое деление отрезка соответствует золотому сечению.
Из формулы, выделенной жирным шрифтом, φ² – φ – 1 = 0. Решением квадратного уравнения получаем φ = (1 + √5)/2.
Калькулятор выдал: φ = 1,6180339887499……
Число φ иррационально, цифры после запятой продолжаются до бесконечности.
Чтобы возвести это число в квадрат: 1,6180339887499…… умножить на 1,6180339887499…… достаточно просто к 1,6180339887499…… прибавить 1 и получим 2,6180339887499…… Всё потому, что φ² – φ – 1 = 0, а следовательно φ² = 1 + φ .
Возведём φ в третью степень: φ³= φ · φ · φ = φ²· φ = (1 + φ) φ = φ + φ² = φ + 1 + φ =1 + 2 φ.
В четвертой степени: φ⁴ = φ³· φ = (1 + 2 φ) φ = φ + 2 φ² = φ + 2(1+ φ) = 2 + 3 φ.
φ³ = φ + φ² = 1,6180339887499 + 2,6180339887499 = 4,2360679774998
φ⁴ = φ² + φ³ = 2,6180339887499 +4,2360679774998 = 6,8541019662497
φ⁵ = φ³ + φ⁴ = 4,2360679774998 + 6,8541019662497 =11,0901699437495 и т.д.
Цифры и числа во втором столбце таблицы (рис. 2): 0,1,1,2,3,5,8,13 образуют ряд, где каждое число (цифра) равно сумме двух предыдущих. Ряд при φ, который также подчиняется этому правилу, смещён и поэтому в одной строке находятся числа (цифры) соседи по ряду. Такой ряд чисел называется последовательностью Фибоначчи (в честь итальянского средневекового математика). Вот как выглядит последовательность Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 … , ∞
Отношение двух последовательных чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению при увеличении номера числа: 2/1 = 2; 3/2 = 1,5… 13/8 =1,625…. 34/21 = 1,615 …………….610/377 = 1,618037…… …………………………4181/2584 = 1,618034 и т.д.
Ряд, полученный в третьем столбце, представляет собой последовательность, состоящую из каждого второго члена последовательности Фибоначчи.
2. Пирамида Хеопса.
Возраст пирамиды оценивается около 4500 лет, за это время под воздействием землетрясений обрушилась её каменная верхушка и осыпалась облицовка. Реальные размеры пирамиды отличаются от первоначальных. Основной единицей измерения длины, используемой в Древнем Египте, был локоть. Египетский локоть подразделялся на малый и царский. Установлено, что изначальные размеры пирамиды в царских локтях, такие как указанные на рис. 3.
Отношение АС/ВС = 356/220 = 1,61818181818….. оказалось весьма близким к φ = 1,6180339887499…… Получались отношения близкие по значению к √2, и даже к пи: если удвоенную длину основания разделить на высоту, (2 · 440)/280 = 3,14285…., однако найти ещё одну золотую пропорцию или ей соответствующий угол (tg ᾳ =φ ; ᾳ = 58,28°) мне не удалось.
«Линейки», равные локтю, тщательно разделялись на меньшие меры, это было показано на одном из египетских папирусов. Египетский музей в Турине располагает такими «линейками». Царский локоть равен 52,4 см.
Удивительно то, что если длину окружности диаметром один метр разделить на шесть равных частей, получим отрезок равный царскому локтю: (пи · 1) /6 = 0,523598…. м или 52,36 см.
Метр был определён Французской Академией, как одна сорокамиллионная часть меридиана проходящего через Париж, в 1791 году.
3. ТОЭ
а) Электрическая цепь, содержащая одинаковые звенья, которые бесконечно повторяются, имеет сопротивление цепи Rx между точками A и С, равное произведению сопротивления R на φ (рис.4).
Поскольку цепь бесконечна, присоединение ( или отсоединение) одного звена не повлияет на общее сопротивление цепи. Значит, вся цепь, правее ас будет также иметь сопротивление Rx.
Алгоритм решения таких задач следующий:
- выделяем общее звено, которое бесконечно повторяется;
- создаём эквивалентную схему цепи, заменив сопротивление остальной цепи искомым сопротивлением Rx;
- выполняем расчёт искомого сопротивления.
Сначала находим общее сопротивление двух параллельно соединённых сопротивлений R и Rx (суммируются проводимости), а затем к полученному результату прибавляем R (последовательное соединение): Rx =RRx/(R + Rx) +R ; Rx (R + Rx) = RRx + R (R + Rx); (Rx)² - RRx - R²= 0;
Rx =[R +√(R² + 4 R²)]/2; Rx = R (1 + √5)/2 или Rx = R · φ.
При R = 3 Ом, Rx = 3φ = 4,854 Ом. Сопротивление цепи, состоящей из двух звеньев: R** = R + 2R/3; Rx = 5 Ом (рис. 4) .
Сопротивление цепи, если количество звеньев три: R*** = R + (RR**)/(R +R**); R*** = 3 + (3 · 5)/(3 +5) = 39/8 = 4,875 Ом.
Присоединение последующих звеньев практически не изменяет общее сопротивление цепи, оно будет уменьшаться на сотые доли, приближаясь к значению R · φ.
б) Дано:
- электрическая схема (рис. 6) ;
- фазные напряжения Ůa = U; Ůb = U (-120°); Ůc = U (120°);
- сопротивление R2 = R3;
- показание вольтметра V2 в два раза больше, чем V1.
Найти:
- чему равны показания вольтметров V1, V2, V3 и V4;
- сопротивления R1, R2 и R3.
Задача была составлена для оценки влияния потери нейтрального проводника на потребителей электрической энергии.
Ответы получились любопытными.
Ответ.
Вольтметр V1: Ur1 = U/φ;
Вольтметр V2: Ur2 = 2U/φ;
Вольтметр V3: Ur3 = 2U/φ;
Вольтметр V4: Un = U/φ²;
R2/R1 = R3/R1 = 3φ - 2.