На конкретном примере разберём способ решения задач на определение крутящего момента и построение эпюры.
ЗАДАЧА
- Для стального вала круглого поперечного сечения определить значения внешних моментов, соответствующих передаваемым мощностям, и уравновешенный момент.
- Построить эпюру крутящих моментов по длине вала.
- Определить диаметры вала по сечениям из расчетов на прочность и жесткость. Полученный больший результат округлить до ближайшего четного или оканчивающегося на 5 числа.
- Провести расчет для вала кольцевого сечения, приняв . Сделать выводы о целесообразности выполнения вала круглого или кольцевого сечения, сравнив площади поперечных сечений.
Записываем дано.
Решение
1) Определяем моменты сопротивления пар сил на шкивах:
2) Определяем движущий момент.
Момент на шкиве 1 движущий, а моменты на шкивах 2, 3, 4 – моменты сопротивления механизмов, поэтому они имеют противоположное направление. Брус скручивается между движущим моментом и моментами сопротивления. При равновесии движущий момент равен сумме моментов сопротивления:
3) Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях бруса с помощью метода сечений:
Определяем крутящие моменты последовательно составляя уравнения равновесия отдельно для каждого сечения.
3) Строим эпюру крутящих моментов (см. чертёж № 1 к задаче). Выбираем масштаб:
Максимальный крутящий момент на участке 2:
Колёса на валу расположены рационально и не требуют перестановки: мощность подается в середине вала и по возможности равномерно распределяется налево и направо.
5) Определяем размеры поперечного сечения вала с круглым сечением из расчёта на прочность.
5.1) Из условия прочности при кручении:
определяем момент сопротивления вала при кручении:
5.2) Определяем диаметр вала с круглым сечением:
6) Определяем размеры поперечного сечения вала с круглым сечением из расчета на жёсткость.
6.1) Из условия жёсткости при кручении:
определяем момент инерции сечения при кручении:
6.2) Определяем диаметр вала с круглым сечением:
7) Для обеспечения прочности и жёсткости одновременно выбираем большее из двух найденных значений:
Округляем полученное значение до ближайшего четного или оканчивающегося на 5 числа и получаем искомый диаметр вала с круглым сечением:
8) Определяем диаметр вала при условии, что сечение – кольцо.
Моменты сопротивления сечений, полученные из условия прочности и полярные моменты инерции, полученные из условия жёсткости остаются теми же.
8.1) Из формулы полярного момента сопротивления кольца выведем формулу для определения наружного диаметра кольцевого вала по условию прочности:
8.2) Из формулы полярного момента инерции кольца выведем формулу для определения наружного диаметра кольцевого вала по условию жесткости:
Округляем полученное значение до ближайшего четного или оканчивающегося на 5 числа и получаем искомый диаметр вала с кольцевым сечением:
9) Для определения экономии металла при переходе на кольцевое сечение сравним площади сечений. Для круга площадь определяется по формуле:
для кольца:
Из соотношения площадей следует, что при переходе с круглого сечения на кольцевое расход металла в 2,8 раза меньше. Поэтому целесообразнее применение вала кольцевого сечения.
Ответ
Колёса на валу изначально расположены рационально. Максимальный крутящий момент равен 212 Н*м. Вал с кольцевым сечением должен иметь диаметр не менее 48 мм.