Функция - одно из самых важных направлений в изучении математики и статистики настолько, что ради нее создали целый отдельный раздел математики - математический анализ.
Что же такое функция?
Представим, что вы хотите испечь имбирное печенье и уже приготовили тесто. Однако перед тем, как выложить печенье на противень и поставить его в духовку, есть еще один шаг - придание ему формы. Давайте разобъем этот процесс на несколько этапов.
- Сначала необходимо раскатать кусок теста в лепешку примерно одинаковой толщины, чтобы наше печенье равномерно пропеклось.
- Затем следует вырезать это печенье с использованием фигурных форм, чтобы оно выглядело не просто как бесформенный кусок теста.
- Наконец, нужно переложить это печенье на противень. Готово! Остается повторить этот алгоритм для остальных порций теста до того, как противень будет полностью заполнен и его можно будет поставить в духовку.
Что общего у функции и вырезанием печений?
Давайте рассмотрим то, что мы только что делали, с точки зрения математики. Все шаги, которые мы выполнили, могут быть объединены в одну функцию, цель которой - преобразовать кусок теста в вырезанное печенье.
Знакомьтесь - функция
В математике функция записывается как f(x), где x - это переменая, a f() - это правило, по которому мы изменяем эту переменную.
Вырезание печенья - как функция
Давайте теперь попробуем представить наш алгоритм вырезания печенья как функцию. Тогда:
печенье = f(тесто) = выложить на протвень(раскатать тесто + вырезать тесто)
Здесь мы определили тесто как нашу переменную, а печенье — как результат изменения этой переменной.
Попробуем обобщить
Вы можете спросить: "А что, если мы будем делать печенье из другого теста или, например, это вообще делает маленький ребенок из песка?"
Для этого давайте запишем нашу функцию немного иначе. Пусть вместо теста у нас будет переменная x. Тогда:
печенье = f(x) = выложить на протвень(раскатать x + вырезать x)
Теперь, для того чтобы использовать эту функцию, нам достаточно подставить наш исходный материал (будь то тесто, песок и так далее) на место x!
Функции в математике
По своей сути, функции в математике не сильно отличаются от тех, что мы задавали ранее; их единственное различие - это оптимизация под числа. Например, представим, что нам нужна функция, которая будет удваивать числа:
конечное число = f(x) = 2*x
Чтобы воспользоваться этой функцией, нужно сделать почти то же самое, что и в примере с вырезанием печенья. Только теперь вместо x, вместо печенья, мы подставляем число, и на выходе также получаем число. Но эта функция достаточно проста в своей сути и пока что не представляет практической пользы. Давайте попробуем ее чуть усложнить: после того, как мы удваиваем наше число, будем прибавлять к нему 3:
конечное число = f(x) = 2*x + 3
В этом случае, наша функция описывает уже более сложное правило и имеет практическую пользу. Например, представим, что мы хотим измерить длину чего-либо, но у нас в распоряжении только линейка, у которой отломаны первые 3 см. Чтобы скорректировать эту разницу, мы можем прогонять наш результат замера через функцию f(x)=x+3.
График функции
График функции не менее важная составляющая математического анализа, чем сама функция. График функции - это визуальное представление корреляции между входными и выходными данными функции, или, проще говоря, визуализация связи между исходными данными и данными, измененными с помощью функции.
Давайте попробуем исследовать функцию f(x)=2x. Для этого мы введем вторую переменную - y, в которую будем записывать результат работы функции. Тогда, исследуемую функцию можно записать так:
y = f(x) = 2*x
И теперь, чтобы создать график функции, нам достаточно составить таблицу, в которой мы будем парами записывать значения x (наше исходное число) и y (это же число, только после прогона через функцию). Например, в качестве числа x возьмем число 2. Тогда:
y = f(2) = 2*2 => y = 4.
Теперь у нас есть пара (2, 4), где 2 - это x, а 4 - это y. После того, как мы проделаем эту операцию несколько раз для разных значений x, у нас появится несколько подобных пар, которые будут являться точками нашей функции. Прямая, проходящая через эти точки, будет графиком функции.
"Зачем оно нужно?"
Один из самых частых вопросов, возникающих при изучении какой-либо темы курса школьной математики, это "А зачем оно нужно?". И несмотря на то, что сам курс невероятно устарел, знание о том, как устроены функции и их графики, невероятно важно. Ведь на них держится огромный пласт современных технологий, таких как программирование, машинное обучение, искусственный интеллект и т.д. Также, их очень часто используют для решения разного рода математических и физических задач.