Задача №148
В задаче №131 и задаче №147 мы находили наибольшие числа, которые можно составить из четырех единиц и четырех двоек не употребляя знаков действий.
Что если нам необходимо составить наибольшее число из трех девяток, не употребляя знаков действий?
Всё очень просто:
Число получится неимоверно большим.
Проверьте себя и, не прибегая к знакам действий, составьте наибольшие числа, используя:
- Три двойки (222);
- Три тройки (333);
- Три четверки (444).
Если вы помните, то самое большое число, которое можно составить из четырех единиц, не прибегая к знакам действий,
из четырех двоек
Наверняка возникло желание составить из трех двоек комбинацию, аналогичную комбинации из трех девяток:
Если произвести необходимые вычисления, то окажется, что данное число меньше, чем 222, так как равно 2⁴, т.е. 16.
Наибольшим числом из трех двоек является
В итоге это число равно 4 194 304.
Важным является то, что на примере построения комбинации из трех девяток, а затем из трех двоек, для получения наибольшего числа, наглядно видна опасность поступать по аналогии. Такой подход легко может привести нас к ошибочным заключениям.
Подберем комбинацию из трех троек.
В данном случае «трехъярусная» комбинация также не приводит нас к наибольшему числу.
равняется
Наибольшее число мы получим при комбинации
А вот для комбинации из трех четверок «двухъярусная» комбинация дает не самое большое число, которое можно построить.
В случае с четверками наилучшим вариантом будет именно трехъярусное построение, так как
равняется
Как видите, это гораздо больше, чем 4⁴⁴.
Так почему же одни цифры «рождают» гигантские числа при построении в три яруса, а другим достаточно для этого всего два яруса?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим общий случай построения наибольшего числа тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий.
Обозначим цифру буквой «а».
Двухъярусному расположению (2²², 3³³, 4⁴⁴) в таком случае соответствует
т.е.
Трехъярусное расположение в общем виде можно выразить как
Нам необходимо определить, при каком значении «а» трехъярусная комбинация изображает большее число, чем двухъярусная, то есть когда
Разделим обе части неравенства на «а». Получим
Несложно посчитать, что данное неравенство верно только при условии, что а>3, потому что при а=4 мы получим
При этом степени
или
меньше 11.
Теперь понятно, почему для построения наибольшего числа из трех двоек и троек необходимо одно расположение цифр, а для четверок и бо́льших чисел – другое.
Еще больше занимательного из истории математики, задач по математике и ответов к ним здесь: funmath.ru