Треугольная сетка (1+ классы)

Разрезания на равные части фигур на клетчатой бумаге — очень распространённая тема. С одной стороны, это наглядные задачи с низким порогом входа, с другой, у таких задач есть большая глубина связанная с некоторыми принципами (симметрия, идея закручивания), так и с дополнительными условиями (например, разрешается резать не только по линиям сетки или после разрезания части надо как-то сложить).

Предлагаемые ниже задания помогают взглянуть на привычные разрезания под другим углом (в 60°), взяв за основу не квадратную, а треугольную сетку.

Введение о фигурках из треугольников

Перед тем, как приступить к разрезанию я обычно предлагаю порисовать фигуры из треугольников. Для упрощения процесса ученики получают несколько бумажных равносторонних треугольников.

Бумажные треугольники помогают лучше заметить сходство фигур, получающихся друг из друга поворотом.

Несложно заметить, что существует только одна фигурка, состоящая из двух треугольников.

Чтобы получить фигуру из трёх треугольников, нужно к фигуре из двух добавить ещё один треугольник. Это можно сделать четырьмя способами. И в каждом из способов получается ряд из трёх треугольников. Значит существует только одна фигура из трёх треугольников.

Добавить треугольник к фигуре из трёх треугольников можно пятью способами, которые разбиваются на 3 группы. То есть различных фигур из четырёх треугольников существует всего 3.

Дальнейшие исследования в области фигурок из разного количества треугольников я вручу читателям, единственное предложу считать одинаковыми фигурками не только получающиеся друг из друга поворотом, но и переворотом (по аналогии с тем, что есть две Г-тетрамино, направленные в разные стороны).

Чтобы проще было заметить сходство или различие фигур можно внутри фигур выделять общие элементы, как треугольники в данном случае.

Шестиугольник на две равные части

Задача Раздели фигуру по линиям сетки на две равные по форме части. Придумай 6 разных способов.

Стоит сразу предостеречь читателя, что нас интересуют именно разные способы, то есть не получающиеся друг из друга поворотом.

В этой задаче предлагаю воспользоваться идей центральной симметрии.

1. Отмечаем центр фигуры.

2. Выбираем две симметричные относительно центра точки на границе шестиугольника. Это точки, с которых мы начнём разрезание.

3. Пошагово рисуем от выбранных точек симметричные маршруты навстречу друг другу.

Разные маршруты будут задавать разные разрезания.

Шестиугольник на четыре равные части

Из одного из вариантов, полученных в предыдущей задаче, можно получить решение, но надо быть внимательным и проверять фигуры на сходство, например так:

Выделим большие треугольники в получившихся частях и заметим, что дополнительные клетки присоединяются к большим треугольникам по-разному. Значит, части не равны между собой.

Подробнее про центральную симметрию на треугольной (и не только) сетке я рассказывал в посте по ссылке ниже.

Задача про треугольники из треугольников

Алиса нарисовала на треугольной сетке треугольник, сторона которого равна 1 клетке. Этот треугольник состоит из 1 маленького треугольника.

Полина нарисовала на треугольной сетке треугольник, сторона которого равна 2 клеткам. Этот треугольник состоит из 4 маленьких треугольников.

Настя нарисовала на треугольной сетке треугольник, сторона которого равна 3 клеткам. Этот треугольник состоит из 9 маленьких треугольников.

Сколько маленьких треугольников будет в треугольнике со стороной равной а) 5; б)* 10?

Чтобы найти ответ для пункта (а) достаточно просто аккуратно нарисовать треугольник и посчитать количество клеток. Но неужели нужно будет рисовать треугольник со стороной в 100 клеток?

Можно вновь воспользоваться идеей добавления треугольников и заметить, что чтобы перейти от треугольника со стороной 2 к треугольнику со стороной 3.

Заметим и проверив закономерность можно легко посчитать количество клеток в треугольнике со стороной 10.

Ребята постарше могут заметить ещё одну закономерность, которую можно даже доказать, а именно то, что сумма первых n нечётных чисел равна квадрату (n+1).

Задачи про разрезание фигур

Задачи на разрезание на равные части на треугольной сетке решаются точно также как и на квадратной. Например, можно использовать такой подход:

1. Считаем количество клеток всего.
2. Вычисляем количество клеток в одной части.
3. Находим самое "узкое" место задачи и разбираем несколько вариантов.
4. Получаем верный ответ.

Задача Разделите фигуру по линиям сетки на 10 равных по форме частей.

Всего клеток 30, значит каждая часть будет состоять из 3 треугольников. Такая фигура существует только одна. На рисунке показаны все возможные варианты, как эта фигура может проходить через клетку, выделенную красным крестиков. Один из этих вариантов приводит к нужному разрезанию.

Замечу, что это всего лишь один из подходов. Можно использовать идею симметрии, просто резать в надежде, что духи математики натолкнут на правильное решение или делать эти задачи как-то иначе.

Материалы

При печати материалов рекомендую сначала скачать файл в формате pdf и уже печатать его.