Оба глагола означают убедить, но есть нюанс
Convince обычно означает «заставить кого-либо поверить в некоторую информацию, «истину», позицию, склонить человека на свою сторону». Или же to be convinced of smth. - быть убежденным, например, в своей правоте, таланте и прочее.
Persuade (пёсвейд) же предполагает ДЕЙСТВИЕ, то есть убедить кого-либо сделать что-либо посредством просьбы или довода.
Далее накидываем примеры:
She is convinced that the story is true. – Она убеждена, что эта история - правда.
You have convinced me that you're right. - Вы убедили меня в своей правоте.
I didn't believe that I could be a doctor but my mom convinced me. - Я не верил, что смогу быть доктором, но мама убедила меня.
She was convinced of her rightness. – Она была убеждена в своей правоте. Предлог OF в самом предложении задания в варианте экзамена может быть подсказкой в пользу глагола convince из предложенных 4-х вариантов глаголов.
!!Словосочетание «убежденный сторонник чего-либо» (к примеру, что земля плоская)) чаще выражается через глагол convince, то есть a convinced supporter!!
Смотрим на примерах глагол persuade:
The boy persuaded his mom to buy a kitten. Мальчик убедил маму на ДЕЙСТВИЕ!!!
He persuaded him to come. - Он убедил его прийти.
А вот пример из реального варианта экзамена:
Her parents were ______________ that their child had a talent. Будут предложены 4 глагола на выбор. Выбор, по сути, следует сделать между двумя обозначенными глаголами.
Верный вариант Convinced