Задача №146
При решении задачи №87 «Устный счет» мы разбирали пример, изображенный на картине русского художника-передвижника[1] Н.П.Богда́нова-Бе́льского[2] «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского[3]».
Пример занимателен тем, что квадраты приведенных в нем чисел 10, 11, 12, 13, 14 обладают любопытной особенностью:
С помощью алгебры можно попытаться найти ответ на вопрос: единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна суме квадратов последних?
Для поиска ответа, обозначим первое из искомых чисел ряда через х.
В таком случае мы получаем уравнение:
Можно решить это уравнение, но удобнее составить другое уравнение, в котором через х будет обозначено не первое, а второе неизвестное:
Проведя ряд упрощений, мы получим уравнение:
откуда
где
Следовательно, кроме ряда, приведенного С.А. Рачинским, существует ряд
Проверим:
В нашем случае практическое значение имеет не сам найденный ряд, а изучение возможностей, которые предоставляет алгебра для решения поставленных вопросов.
Решите другую задачу, которая также может быть разрешена методами алгебры:
Необходимо найти три последовательных числа, отличительным свойством которых является то, что квадрат среднего искомого числа на единицу больше произведения двух остальных чисел ряда.
Ответ к задаче здесь.
[1] Товарищество передвижных художественных выставок (кратко – Передви́жники) – объединение российских художников, возникшее в последней трети XIX века и просуществовавшее до 1923 года. Организуя передвижные выставки, передвижники вели активную просветительскую деятельность.
[2] Никола́й Петро́вич Богда́нов-Бе́льский (8 декабря 1868 – 19 февраля 1945) – русский художник-передвижник.
[3] Сергей Александрович Рачинский (2 мая 1833 – 2 мая 1902) –российский ученый, педагог, просветитель, профессор Московского университета, ботаник и математик. Член-корреспондент Императорской Санкт-Петербургской академии наук.