Доброго дня, друзья, товарищи!
Рубрика - решаем задачку.
Геометрия 7 класса.
Решение задачи на свойства равнобедренного треугольника.
Решил расписать одну задачку по геометрии, которую решали в классе.
Вначале разберём 1 ее часть: доказательство равнобедренности треугольника.
А вот 2 часть, про расположение точки D в центре стороны BC разберем отдельно.
Геометрия нам, пока еще, не встречалась тут. Однако, зачатую в ней возникает больше всего вопросов.
Ну-с, приступим! Сейчас - первая часть задачи (https://t.me/parentpedagogic/38). Больше на лист не поместилось😁.
1. Цель задачи.
Задача комплексная, в множество действий. В ней разбираются несколько пройденных тем-теорем за первое полугодие 7 класса.
И, самое главное, в ней стараемся решать большую задачу, разделяя ее на маленькие, удобные нам, части. Выделяем из большого чертежа части, нужные нам.
Этот процесс деконструкции - один из самых важных в геометрии. Мы учимся выделять из чего-то большого только нужные нам маленькие кусочки.
2. Решение задачи. Часть 1.
Вначале любой задачи обязательно появляется чертеж и блок "Дано".
1)Нам дан треугольник(∆) ABC. Его стороны AB и AC равны по условию. Из этого, первым же действием определяем: ∆ABC - равнобедренный; и, как следствие, его углы при основании равны.
2) В ∆, на его боковых сторонах, нам указаны точки P и Q. Они расположены так, что участки на боковых сторонах треугольника от вершины A до этих точек равны. Прямые же, соединяющие данные точки с противоположными углами пересекаются (PC пересекается с QB) в некоей точке O.
3) Рассмотрев, что нам дано, посмотрим на то, что спрашивают. В 1 части нас просят доказать, что маленький треугольник, образованный пересечением этих двух прямых PC и BQ, а также основанием исходного треугольника BC - является равнобедренным.
Про 2 вопрос - чуть позже.
Между строк: Вообще стоит подготовиться, что здесь будем рассматривать несколько разных и неожиданных треугольников.
4) Вначале обратимся к заданию: как доказать, что треугольник - равнобедренный? Мы разбирали на текущий момент 2 способа:
а) если его стороны равны;
б) если его углы равны.
❔Можем ли мы доказать, что стороны равны? ❌ для этого нам просто не хватает данных.
- Мы видим, что после пересечении прямых PC и QB остаются одинаковые куски AP и AQ; подозреваем, что это значит, что пересекаются они делясь на одинаковые кусочки до точки О. Но доказать не можем.
❔тогда попробуем доказать, что углы равны. ✅ мы уже видим, что углы большого ∆, частью которых являются углы искомого малого ∆, уже равны.
- То есть угол B это сумма углов ABQ и QBC.
QBC - нам нужен, а ABQ...
5) Мы пришли к заключению, что надо каким-то образом доказать равенство двух кусочков угла, тогда, зная, что целые углы равны, мы сможем сделать вывод, что и оставшиеся кусочки равны.
(нижний рисунок - знаем красный цвет, должны доказать синий, чтобы потом доказать зеленый).
Доказывать углы мы умеем через треугольники. Если треугольники равны, то и их углы равны. Осталось выбрать треугольники, которые нам помогут и при этом мы сможем с ними что-то доказать.
6) Как выбирать треугольники? Надо посмотреть, где нам известно больше всего информации.
Вот и наступил тот момент, когда нам нужны данные в условии стороны и участки сторон. Есть два треугольника, в которых мы знаем больше всего деталей: ∆ABQ и ∆ACP. У них по две одинаковые стороны. И общий (один и тот же) угол между этими одинаковыми сторонами. Это условие 1 признака равенства треугольников. Значит оба треугольника равны, а значит их стороны и углы тоже равны. Значит, мы нашли два одинаковых угла угол ABQ и угол ACP.
7) Осталось дело техники. Записать все это, и указать, что если большие углы равны, по одной их части равны, то и оставшиеся, искомые, части тоже равны.
8) А если углы треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Следствие из теоремы о соотношении углов и сторон треугольника.
Любимые слова: Ч. Т. Д. ❤️ На этом первая часть доказана.
А вот кто найдет чуть более простое решение данной задачи: прошу в комментарии. Такое решение есть.😉
3. Решение задачи. Часть 2.
Наша цель - доказать, что т.D находится в центре стороны BC.
Есть для этого 2 идеи:
1) доказать, что отрезки BD и DC, получившиеся от деления стороны точкой D оказались равны;
2) доказать, что прямая AD обязательно будет упираться именно в середину.
Если пойдем по первому предположению, то надо рассматривать треугольники со сторонами BD и CD.
❌ Однако нет ни одной предпосылки к тому, чтобы доказать такие треугольники.
Тогда пойдем по второму пути. Найдем такие треугольники в которые входит хотя бы часть от прямой AD, и, при этом, которые мы можем приравнять.
Это треугольники: ∆ABO и ∆ACO.
У них равны внешние - боковые - стороны AB и AC, а также нижние стороны OB, OC. А равенство углов при точках B и C мы доказали в прошлой части.
Все вместе это становится 1 признаком равенства треугольников (две стороны и угол между ними). А значит треугольники равны. И, как самое важное нам следствие, равны углы при точке A. ✅
Значит прямая AD разделяет угол A на 2 равные части и является биссектрисой угла.
📍А как известно, биссектриса равнобедренного треугольника, является также высотой, что упирается в противоположную сторону под прямым углом. И медианой - делящей противоположную сторону на 2 равные части.
✌️💪💛 Ч. Т. Д.
А на сегодня всё! Вопросы?
