В демо-версии ЕГЭ 2024 появилась новая задача. Я был безусловно рад, что эта задача посвящена векторам, т.к. это важная тема, которая до 2024 года в ЕГЭ не встречалась. В этой статье я собрал всю теорию для успешного решения 2 задачи с помощью метода координат. Причём я не просто дам готовые формулу, а расскажу, как они получаются.
Как найти координаты вектора?
Вектор - это класс направленных отрезков. Векторы считаются равными, если они имеют одинаковое направление и одинаковую величину (на чертеже векторы V и V' - это один и тот же вектор). Для того, чтобы однозначно определить вектор, нужно знать координаты начала вектора и координаты конца вектора. Координаты вектора - это координаты точки, в который проведён вектор из начала координат. Пусть координаты точки A - (1;2), а координаты точки B - (4;4). Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат точки конца вычесть координаты точки начала. В данном примере: AB = {4-1;4-2} = {3;2}.
Примечание: принципиально важно не путать координаты начала и конца вектора!
Как найти длину вектора?
Направленный отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника (возможно, вырожденного). Чтобы найти горизонтальный катет, нужно из абсциссы конца вектора вычесть абсциссу начала вектора. Аналогично, для нахождения вертикального катета нужно из ординаты конца вектора вычесть ординату конца вектора. Для нахождения длины вектора нужно воспользоваться теоремой Пифагора. В данном случае: |AB| = √((4-1)²+(4-2)²) = √(13).
Как складывать/вычитать векторы?
Пусть требуется сложить вектор AB с вектором CD. Если решать задачу геометрически, то вектор CD нужно параллельно перенести так, чтобы его начало совпало с точкой B. Точка D' будет точкой конца этого вектора. Тогда вектор AD' называется суммой векторов AB и CD. Чтобы найти координаты вектора AD', нужно найти координаты точки D' и вычесть из них координаты точки А. Из определения понятия координаты вектора, следует, что координаты точки D' - это сумма координат точки B и координат вектора BD'(=CD), а координаты точки B - это сумма координат точки A и координат вектора AB. Следовательно, чтобы получить координаты вектора суммы AB и CD нужно сложить координаты вектора AB и координаты вектора CD (=BD'). Для разности векторов нужно провести схожие рассуждения.
Как умножить вектор на число?
При умножении вектора на число k вектор удлиняется в k раз. Это будет отражено и в координатной записи полученного вектора.
Скалярное произведение
Это арифметическая операция, характерная для векторов. Скалярное произведение в координатах равно сумме произведений их абсцисс и ординат. Доказательство этого факта на пальцах объяснить тяжело, поэтому рекомендуется это запомнить. (доказательство можно посмотреть здесь).
В геометрическом смысле скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Зная формулу скалярного произведения через координаты, мы сможем найти косинус угла между векторами через координаты.
Задачи в тестовой части ЕГЭ несложные, буквально на 1-2 формулы, поэтому вышеизложенной теории будет достаточно для успешного решения 2 номера.
Спасибо за прочтение статьи. Поддержите молодой канал лайком, а также не забудьте подписаться, если вы интересуетесь всем, что связано с ЕГЭ и поступлением в ВУЗ. А если у вас есть, что добавить или предложить - пишите ваши мысли в комментариях В будущем вас ждёт ещё больше контента)