Школьные задачи / Алгебра / А-17

Задание

Дробная часть числа x обозначается как {x}. Данная функция определена на всём множестве действительных чисел, область её значений – полуинтервал [0;1), кроме того, она является периодической функцией с периодом, равным 1. С учётом этих данных построить график функции

y = |{x} – ½|

Решение

Построим сначала график функции

y₁ = {x}

У целых чисел дробная часть по определению нулевая, следовательно:

y₁(0) = {0} = 0

y₁(1) = {1} = 0

Заметим, что длина отрезка на оси абсцисс между точками x = 0 и для x = 1 равна единице, что как раз составляет период функции y₁ = {x}.

Из смысла самого понятия «дробная часть числа» вытекает, что на интервале (0;1) выполняется следующее равенство:

{x} = x,

поэтому при 0 < x < 1 график y₁ = {x} полностью совпадает с графиком функции y₂ = x, то есть представляет собой прямую линию, образ­ующую с положительным направлением оси абсцисс угол 45° (рис. 1).

Рис. 1.

Отметим на графике ещё две точки, соответствующие значениям y₁(0) и y₁(1) (рис. 2)

Рис. 2.

С учётом периодичности y₁ = {x} становится ясно, что её график на всей области определения представляет собой бесконечную череду повторяющихся отрезков и имеет бесконечное число точек разрыва в местах, соответствующих целым значениям аргумента (рис. 3).

Рис. 3.

Теперь построим график функции

y₃ = {x} – ½

Его можно получить из графика y₁ = {x} смещением последнего вдоль оси ординат на половину единицы вниз (т. е. в сторону отрицательных значений ординаты) (рис. 4).

Для построения графика функции

y = |{x} – ½|

достаточно все точки графика y₃ = {x} – ½ , лежащие в третьем и четвёртом квадрантах (т. е. имеющие отрицательные значения ординаты), зеркально отразить относительно оси абсцисс в полуплоскость положительных значений ординат. Легко заметить, что получившийся результат представляет собой непрерывную (без точек разрыва) ломаную линию, при этом сам график имеет вид, характерный для чётных функций – симметричен относительно оси ординат, а ещё, как и y₁ = {x}, обладает свойством периодичности (период равен единице).

Ответ

Комментарий

В школьных учебниках, выпущенных в советские годы, рассматриваются понятия целой [x] и дробной {x} частей числа, в том числе там показаны и графики этих функций:

Изображение фрагмента стр. 152 издания: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Монахов В.М., Муравин К.С., Суворова С.Б. Алгебра. Учебное пособие для 8 класса средней школы. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1981. – 256 с.

В учебниках, которые были у меня в школьную пору, этот материал отсутствовал (ну что ж – не впервой уже сталкиваться с подобным), хотя в специализированных изданиях тех же лет обсуждаемые здесь сведения всё-таки имеются (например, см. стр. 50 в пособии: Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С., Симонов А.С., Кудрявцев А.И. Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1996. – 384 с.).

На интернет-просторах встречаются разборы решений школьных олимпиадных задач, в которых [x] и {x} задействованы непосредственно. Поэтому с учётом сказанного выше, формулировка предлагаемой здесь задачи такова, чтобы ученикам, не знакомым с функцией y = {x}, было вполне по силам справиться с заданием.

Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.

См. также: