1_Прямоугольник. Прямоугольная трапеция. Прямоугольный треугольник
На большей стороне ВС прямоугольника АВСD взята точка F так, что в трапецию АFСD можно вписать окружность. a). Докажите, что периметр треугольника АВF равен удвоенной стороне АD. б). Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник АВF, если стороны прямоугольника АВСD равны 4 и 7.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/kcy7oRQQsQOr-g
Видео https://rutube.ru/video/0771d84d3149331b67ab5ab2c655e447/?r=wd
2_Подобие треугольников. Радиус вписанной окружности
Дан треугольник АВС. Серединный перпендикуляр к стороне АВ пересекается с биссектрисой угла ВАС в точке К, лежащей на стороне ВС. а). Докажите, что АС²=ВС*СК. б). Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АКС, если sinB=√7/4 и сторона АС=36.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/Lu767iU-OkPUww
Видео https://rutube.ru/video/d2d8ae9b888d5acc02788dc641e4fe68/?r=wd
3_Диагональ четырёхугольника – диаметр окружности и высота ромба
В параллелограмм вписана окружность. а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб. б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 4 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/oglxAK_NkdZ23Q
Видео https://rutube.ru/video/45338562744ebdb70119268fd30b04e8/?r=wd
4_Доказать что центр вписанной окружности принадлежит отрезку
Окружность с центром в точке С касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС и пересекает его катеты АС и ВС в точках E и F. Точка D – основание высоты, опущенной из вершины С. I и J – центры окружностей, вписанных в треугольники ВСD и ACD. а) Докажите, что I и J лежат на отрезке EF. б) Найдите расстояние от точки С до прямой IJ, если АС=15, ВС=20.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/5h4N13zAFcdsfA
Видео https://rutube.ru/video/2c8642a3c685c6b9d9d7782f5644f4a3/?r=wd
5_Правильный пятиугольник
Известно, что LKMNP – правильный пятиугольник. Диагонали LM и KN пересекаются в точке Т. а). Докажите, что описанная окружность треугольника LNT касается прямой MN. б). Найдите длину ML, если LT=4.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/mWE5spTc0Kmq0A
Видео https://rutube.ru/video/aeb0b4f5a4c25587b640c67f81d42fe7/?r=wd
6_Четыре окружности. Трудная задача на доказательство
Пусть О₁ – центр вписанной окружности треугольника АВС, О₂ – центр вневписанной окружности этого треугольника, касающейся стороны ВС. а). Докажите, что О₁М=МО₂, где М – точка пересечения отрезка О₁О₂ и описанной окружности треугольника АВС. б). Найдите О₁О₂, если ВМ=5.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/WiTUbynhkNYdeQ
Видео https://rutube.ru/video/d24b89fd8625e4e54802b73b3dc26378/?r=wd
7_Пятиугольник вписан в окружность
Пятиугольник АВСDE вписан в окружность. Из вершины А опущены перпендикуляры AF, AH, AP и AQ на прямые DE, BE, CD и BC соответственно. а). Докажите, что угол FAH равен углу PAQ. б). Найдите AH, если AF=a, AP=b, AQ=c.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/F5dwxxw7pMhU1g
Видео https://rutube.ru/video/f7cc9736ddaa95a3cdcab412f2240cee/?r=wd
8_Вневписанная окружность
Окружность с центром О касается боковой стороны АВ равнобедренного треугольника АВС, продолжения боковой стороны АС и продолжения основания ВС в точке N. Точка M – середина основания ВС. а) Докажите, что MN=АС. б) Найдите ОС, если стороны треугольника АВС равны 13, 13 и 10.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/HgQ-ROPDibyslg
Видео https://rutube.ru/video/ebc0a29a323db1d6824c273245fadc09/?r=wd
9_Прямоугольник и окружность
Сторона CD прямоугольника АВСD касается некоторой окружности в точке М. Продолжение стороны АD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая ВС касается окружности, а точка Q лежит на прямой ВM. а) Докажите, что ∠DMP=∠CBM. б) Известно, что CM=17 и CD=32 найдите сторону АD.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/zEtC160niLm10w
Видео https://rutube.ru/video/c73b88be3bfa8987488057d4563e7908/?r=wd
10_Окружность. Параллелограмм. Ромб
Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма АВСD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма. а) Докажите, что АВСD – ромб. б) Эта окружность пересекает сторону АВ в точке М, причём АМ:МВ=1:2. Найдите диагональ АС, если известно, что АD=2√3.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/gO-pycixf1ZvHw
Видео https://rutube.ru/video/e0ad0a26f44075b63465f5df2cc6cb78/?r=wd
11_Площадь параллелограмма
На сторонах АВ, ВС, CD и AD параллелограмма ABCD отмечены точки К, L, М и N соответственно, причём AK/KB=BL/LC=CM/MD=DN/NA. а) Докажите, что четырёхугольник KLMN – параллелограмм, а его центр совпадает с центром параллелограмма АВСD. б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN и ABCD, если известно, что AK/KB=2.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/WJXqNo5z03-NHQ
Видео https://rutube.ru/video/75f5d61a515dbe1d300d742c3243931e/?r=wd
12_Признак параллелограмма. Свойства площадей. Отношение площадей
Противоположные стороны AD и ВC четырёхугольника АВСD параллельны. Через вершины В и D проведены параллельные прямые, пересекающие диагональ АС в точках M и N соответственно. Оказалось, что АМ=MN=NC. а) Докажите, что АВСD – параллелограмм. б) Найдите отношение площади четырёхугольника ВМDN к площади параллелограмма АВСD.
🔎 https://disk.yandex.ru/d/cC7P0PIPByQsOA
Видео https://rutube.ru/video/84e44650e97a05719b4ca6d25ec96fd1/?r=wd
13_Подобие. Тангенс двойного угла
Окружность с В параллелограмме АВСD угол ВАС вдвое больше угла СAD. Биссектриса угла ВАС пересекает отрезок ВС в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка Е, что АЕ=СЕ. а) Докажите, что АL:AC=AB:BC. б) Найдите ЕL, если АС=21, tg∠BCA=0,4.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/ct11jth_XVak2Q
Видео https://rutube.ru/video/cfec037f1cb477b7abdadc8ea8b5567c/?r=wd
14_Доказательство от противного. Площадь квадрата
Точка О лежит в плоскости квадрата АВСD. Известно, что точка О лежит вне квадрата, ОА=ОВ=5, ОD=√13 . а) Докажите, что площадь квадрата АВСD меньше 36. б) Найдите квадрата АВСD.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/HSquNquymkqDnQ
Видео https://rutube.ru/video/b4436c32a2b5847a5a0f95ad3639329f/?r=wd
15_Площадь сектора. Теорема косинусов
Дан угол величиной 120⁰ с вершиной С. Вне угла, на продолжении его биссектрисы, взята точка О так, что ОС=1/√3. Построена окружность с центром в точке О радиуса 1, пересекающая стороны угла в точках А и В. а). Докажите, что ОС=ВС=СА. б). Найдите площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключённой между ними.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/956wOh8zHaKyCw
Видео https://rutube.ru/video/01ad9a72af4ccdc7f66ff0175c9daa3c/?r=wd
16_Площадь четырёхугольника
Из вершин А и В тупоугольного треугольника АВС проведены высоты AH и BR. Известно, что угол В – тупой, ВС:СН=4:5, BH=BR. а) Докажите, что диаметр описанной вокруг треугольника АВR окружности в (2√ 6) /3 раз больше BR. б) Найдите площадь четырёхугольника AHBR, если площадь треугольника HRC равна 75.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/izD22OdMvqHvAA
Видео https://rutube.ru/video/f9e28b59a483dc89314f24eda78907f0/?r=wd
17_Площади подобных треугольников
На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отложен отрезок АD, равный стороне АВ. Прямая, проходящая через точку А параллельно ВD, пересекает сторону ВС в точке М. а). Докажите, что АМ – биссектриса угла ВАС. б). Найдите площадь трапеции АМВD, если площадь треугольника АВС равна 180 и известно отношение АС : АВ = 3 : 2.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/W15JGSSApP4Ouw
Видео https://rutube.ru/video/6391f146020990f6e465eaa9fcd4d538/?r=wd
18_Трапеция. Теорема косинусов. Основное тригонометрическое тождество
В трапеции АВСD основания АD и ВС. Диагональ АС разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями АD и АВ. а) Докажите, что луч DB – биссектриса угла АDC. б) Найдите АВ, если известны длины диагоналей трапеции: BD=24 и АС=12,5.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/kHOOkIDieW2MGg
Видео https://rutube.ru/video/e8afc8f9a8d223dc82e6fa6c194a6055/?r=wd
19_Теорема Менелая или Другой способ? Выбираем
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС, перпендикулярна CM и пересекает АС в точке K. При этом АК:КС=1:2. а). Докажите, что ﹤ВАС=30⁰. б). Два способа. Пусть прямые МК и ВС пересекаются в точке Р, а прямые АР и ВК в точке Q. Найдите KQ, если ВС=6√7.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/zy3mHDi1KeTITg
Видео https://rutube.ru/video/d002ae08438a32f536fe88f00f31f193/?r=wd
20_Теорема Менелая. Свойство биссектрисы треугольника
На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD. а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный. б) Известно, что cos АВС= 1/6. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ?
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/NFNxKbH1zQcsoQ
Видео https://rutube.ru/video/eadeb9ebf3b9f41591e6b2e143e468ee/?r=wd
21_Теорема Менелая. Вневписанная окружность
Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. О – центр вписанной окружности, Т – точка касания вневписанной окружности катета ВС, М – точка пересечения прямой ТО и другого катета АС. а) Докажите, что АМ=МС. б) Найдите площадь треугольника ТМС, если АС=4, ВС=3.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/i/OK59tW-CYp4MnA
Видео https://rutube.ru/video/33f5771d4449a15ced25035c0ce36626/?r=wd
22_Теорема Чевы. Теорема Менелая. Отношение площадей
Точки В₁ и С₁ лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причём АВ₁ : В₁С = АС₁ : С₁В. Прямые ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О. а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС. б) Найдите отношение площади четырёхугольника АВ₁ОС₁ к площади треугольника АВС, если известно, что АВ₁ : В₁С = АС₁ : С₁В = 1 : 4.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/ifJPSYr3hgFoVQ
Видео https://rutube.ru/video/19a83df780722a85f37072613bb65f2d/?r=wd
23_Теорема Менелая. Отношение площадей
Точки В₁ и С₁ лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причём АВ₁ : В₁С = АС₁ : С₁В. Прямые ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О. а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС. б) Найдите отношение площади четырёхугольника АВ₁ОС₁ к площади треугольника АВС, если известно, что АВ₁ : В₁С = АС₁ : С₁В = 1 : 3.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/Fm8y-UzXLR9e-g
Видео https://rutube.ru/video/f61f1e89d70336c39b2565fea5e1b28f/?r=wd
24_Длина медианы треугольника
Медианы АА₁, ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А₂, В₂ и С₂ – середины отрезков МА, МВ и МС соответственно. а) Докажите, что площадь шестиугольника А₁В₂С₁А₂В₁С₂ вдвое меньше площади треугольника АВС. б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ=4, ВС=7 и АС=8.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/ty1FvX9ooKcdRw
Видео https://rutube.ru/video/1a3d65139d6cd258d3167bcbd3c895ec/?r=wd
25_Две окружности. Прямоугольная трапеция. Тангенс разности.
В прямоугольной трапеции АВСD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания АD, вторая – боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание АD в точке P. а) Докажите, что AP:PD=sinP. б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 5/2 и 1/2.
🔎
Презентация https://disk.yandex.ru/d/krqU9Q_xy2Xj4Q
Видео https://rutube.ru/video/c09fb57f5983c03b642a9f14c0815562/?r=wd
© Презентации PowerPoint 2003. Е. М. Савченко, 2024