Часто от старшеклассников можно услышать вопрос: "Зачем мне учить математику? Где это может пригодиться? Знаний 7 класса будет вполне достаточно для повседневной жизни". Что ответить на этот вопрос? Кто-то из учителей процитирует Ломоносова:
"Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит"
Хорошая цитата, но хотелось бы больше конкретики. В этой статье я покажу, как знания о производной, помогут решить практические задачи.
Краткие сведения
Для начала освежим наши знания о производной
Простым языком, производная - это скорость изменения функции. Любую функцию можно продифференцировать (взять производную), используя таблицу производных и правила дифференцирования.
Зачем нужна производная? Производная - это очень мощный инструмент для исследования функций и построения графиков. В тестовой части ЕГЭ по профильной математике есть задача на нахождение наибольшего/наименьшего значения функции, которая решается именно с помощью производной.
На практике, существует целый класс задач, которые решаются через производную - это задачи на оптимизацию. Нужно использовать имеющиеся ресурсы таким образом, чтобы получить максимальный результат. Такие задачи решают экономисты, инженеры, бизнесмены, маркетологи, логисты и т.д. Более того, экономическая задача из ЕГЭ по профильной математике может быть как раз на оптимизацию. Разберём на примерах.
Задача 1: Ограждение участка
Условие: Вам поручили подготовить площадку для проведения музыкального фестиваля на берегу реки. Из соображений безопасности территорию проведения мероприятия нужно огородить забором. Площадка должна иметь прямоугольную форму. В вашем распоряжении 600 метров забора, река - это естественная преграда (забор вдоль реки строить не нужно). Какую максимальную площадь вы сможете огородить?
Решение: нарисуем чертёж для наглядности
Пусть x - длина перпендикулярной к реке стороны, тогда длина противолежащей к ней стороне тоже будет x. Длина параллельной к реке стороны будет равна 600 - 2x. Тогда площадь участка равна:
Возьмём производную функции
Функция принимает значение 0 в точке x = 150 - это точка "подозрительная на экстремум". Определим характер этой точки
Мы видим, что в точке x = 150 производная меняет знак с "+" на "-". Значит x = 150 - точка максимума. Поэтому максимальная площадь, которую можно огородить забором длиной 600 метров, будет S(150) = 150*300 = 45000 м^2
Задача 2: Лучшая банка
Условие: Вы - владелец компании, которая производит газировку в банках. Вы, как любой капиталист, должны заработать как можно больше при наименьших расходах. Банка имеет цилиндрическую форму. Какое должно быть отношение радиуса цилиндра к его высоте, чтобы площадь поверхности банки была минимальна?
Решение: Распишем объём цилиндра:
Распишем площадь поверхности цилиндра (развёрстка цилиндра состоит из 2 кругов и прямоугольника):
Возьмём производную:
Функция принимает значение 0 в точке r = ∛(V/2π) - это точка "подозрительная на экстремум". Определим характер этой точки:
Мы видим, что в точке r = ∛(V/2π) производная меняет знак с "-" на "+". Значит r = ∛(V/2π) - точка минимума. Тогда:
Значит, площадь поверхности будет минимальна, когда радиус основания банки будет в 2 раза меньше её высоты
Спасибо за прочтение статьи. Поддержите молодой канал лайком, а также не забудьте подписаться, если вы интересуетесь всем, что связано с ЕГЭ и поступлением в ВУЗ. А если у вас есть, что добавить или предложить - пишите ваши мысли в комментариях В будущем вас ждёт ещё больше контента)